Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

318 Capítulo 8. Teoría de la medida II
Los vértices mayores (los valores máximo y mínimo de ρ) se corresponden con
los ángulos θ =0,π. Su semisuma es el semieje mayor:
a = L2
GMm 2
1
2
1 1
− =
1+ɛ 1 − ɛ
L2
GMm2 1
.
1 − ɛ2 Puesto que ɛ es la excentricidad, el semieje menor es b = a √ 1 − ɛ 2 .Elárea
de la elipse es
A = πab = πa 2 1 − ɛ 2 = π
G 2 M 2
L4 m4 (1 − ɛ2 ) 2
1 − ɛ2 .
Según hemos calculado, el período T cumple A = LT/(2m), luego
T = 2π
G 2 M 2
Reuniendo todo esto vemos que
luego tenemos la proporción buscada.
Ejemplo Vamos a probar que
+∞
−∞
L 3
m 3
T 2 4π2
=
a3 GM ,
√ 1 − ɛ 2
(1 − ɛ2 .
) 2
e −x2
dx = √ π.
Aparentemente se trata de un problema de análisis de una variable real, pero
el cálculo es mucho más simple si nos apoyamos en una función de dos variables.
Concretamente consideramos f(x, y) =e−x2−y 2
. Calculamos la integral de esta
función en la bola de centro 0 y radio r mediante el cambio a coordenadas
polares:
e −x2−y 2
2π ∞
dxdy = e −ρ2
ρ dρdθ =2π − e−ρ2
r = π(1 − e
2
−r2
).
Br(0)
0
0
El teorema de la convergencia monótona implica que f es integrable en R2 y además
e −x2−y 2
dxdy = π.
R 2
Por otro lado podemos aplicar el teorema de Fubini, que nos da
∞
e
−∞
−x2
2 dx
= π,
0