Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

170 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
Teorema 4.13 (Teorema de Schwarz) Si f : A ⊂ R n −→ R m es una función
de clase C 2 en el abierto A, entonces Dijf(a) =Djif(a).
Demostración: No perdemos generalidad si suponemos m = 1. También
podemos suponer que n = 2, pues en general podemos trabajar con la función
F (xi,xj) =f(a1,...,xi,...,xj,...an).
Así pues, probaremos que D12f(a) =D21f(a). Sea a =(a1,a2). Consideremos
la función
∆f(h) =f(a1 + h, a2 + h) − f(a1 + h, a2) − f(a1,a2 + h)+f(a1,a2),
definida en un entorno de 0. Vamos a probar que
D12f(a) = lím
h→0 +
∆f(h)
h2 .
Por simetría este límite será también D21f(a) y el teorema estará probado.
Dado ɛ>0, la continuidad de D12f en a implica que existe un h0 > 0 tal
que si 0