Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

13.4. La ecuación de ondas 459
13.4 La ecuación de ondas
En esta sección abordamos el problema matemático de resolver las ecuaciones
en derivadas parciales que determinan los potenciales y los campos electromagnéticos.
Se define el operador d’alembertiano (tridimensional) de constante
v>0 como el que a cada función u en las variables x, y, z, t de clase C 2 le hace
corresponder la función
2vu = ∂2u ∂t2 − v2∆u = ∂2u ∂t
2 − v2
2 ∂ u
∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2
Si u es una función vectorial (con valores en R 3 ) su d’alembertiano se define
análogamente usando el laplaciano vectorial en lugar del escalar. Es claro
entonces que 2vu =(2vu1, 2vu2, 2vu3).
Similarmente se definen el d’alembertiano bidimensional (para funciones de
x, y, t) y el unidimensional (para funciones de x, t). En todas las aplicaciones,
las variables x, y, z representan una posición en el espacio y t representa al
tiempo. La función u(x, y, z, t) representa la intensidad de una magnitud física
que varía con el tiempo de forma distinta en cada punto.
Cualquier ecuación en derivadas parciales de la forma 2vu = w se llama
ecuación de D’Alembert o ecuación de ondas, debido a que sus soluciones representan
procesos ondulatorios tales como la vibración de una cuerda o una
membrana, la transmisión del sonido en un fluido o —lo que nos interesará
especialmente en este capítulo— la luz.
Si llamamos c =1/ √ ɛµ las ecuaciones (13.5), (13.6), (13.7) y (13.8) equivalen
a las siguientes ecuaciones de ondas:
2cV = c2ρ ɛ
(13.10)
2cA = µc 2 ı (13.11)
2cE = − c2
ɛ ∇ρ − c2 µ ∂ı
∂t
(13.12)
2cH = c 2 rotı. (13.13)
La constante c depende del medio. Una simple comprobación muestra que
las unidades de ɛ son C 2 /N m 2 y las de µ son Ns 2 /C 2 , con lo que las unidades
de c son metros por segundo, es decir, corresponde a una velocidad. En el vacío
vale
36π · 109 c ≈
4π · 10−7 =3· 108 m/s = 300.000 Km/s.
Ésta es aproximadamente la velocidad de la luz. Maxwell fue el primero en
explicar la naturaleza de la luz en términos de la teoría electromagnética. Antes
de entrar en ello debemos investigar las soluciones de la ecuación de ondas, que
es lo que nos ocupa en esta sección.