Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.3. Espacios completos 81
Obviamente todo espacio compacto es precompacto (basta extraer un subcubrimiento
finito del cubrimiento formado por todas las bolas de radio ɛ).
El teorema 2.7 contiene la demostración de que un espacio precompacto y
completo es compacto. En efecto partiendo de la hipótesis sobre subsucesiones
convergentes, en primer lugar se prueba que el espacio es precompacto. Con
ayuda de la precompacidad se construye una sucesión de bolas B 1/(n+1)(xn) en
las que podemos exigir que cada una de ellas corte a la anterior. Esto garantiza
que la sucesión de los centros es de Cauchy, con lo que podemos garantizar su
convergencia por la completitud y probamos la compacidad del espacio. Así
pues:
Teorema 2.34 Un espacio métrico es compacto si y sólo si es precompacto y
completo.
Es muy importante tener claro que la completitud es una propiedad métrica
y no topológica. Por ejemplo, los espacios R y]−1, 1[ son homeomorfos, pero
uno es completo y el otro no. En particular una imagen continua de un espacio
completo no tiene por qué ser completo.
Si analizamos lo que falla, vemos que en ]−1, 1[ hay sucesiones de Cauchy
no convergentes, por ejemplo las que convergen a1enR, pero cuando las transformamos
por el homeomorfismo entre ]−1, 1[ y R se convierten en sucesiones
que tienden a +∞, que ya no son de Cauchy, luego no violan la completitud de
R. El problema es que mientras una aplicación continua transforma sucesiones
convergentes en sucesiones convergentes, no transforma necesariamente sucesiones
de Cauchy en sucesiones de Cauchy. Y a su vez esto se debe a que si se
estira infinitamente una sucesión de Cauchy, ésta deja de serlo. Esto nos lleva a
conjeturar que la completitud se conservará por aplicaciones continuas que no
produzcan estiramientos infinitos. Vamos a definir este tipo de aplicaciones.
Definición 2.35 Una aplicación f : M −→ N
entre espacios métricos es uniformemente continua
si para todo ɛ>0 existe un δ>0demodo
que si x, y ∈ M cumplen d(x, y) 0 tal que si y ∈ M cumple
d(x, y)