Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

8.5. El teorema de cambio de variable 317
El cambio de coordenadas lo transforma biyectivamente en S menos el radio
θ = 0, que tiene área nula, por lo que no importa despreciarlo.)
Por ejemplo, el área de la cardioide ρ =(a/2)(1 + cos θ) viene dada por
a 2
8
2π
0
(1 + cos θ) 2 dθ = a2
8
= a2
8
2π
0
1 + 2 cos θ +
θ + 2 sen θ + θ
2π sen 2θ
+ =
2 4 0
3π
8 a2 .
1 + cos 2θ
dθ
2
Ejemplo En el capítulo VI demostramos que los cuerpos sometidos a la acción
gravitatoria de una estrella o planeta describen trayectorias rectas o cónicas,
pero no calculamos la posición del cuerpo en función del tiempo. Ahora probaremos
la segunda ley de Kepler, que aporta información a este respecto. Se
refiere a un cuerpo (un planeta, un cometa) que describe una trayectoria cónica
alrededor (digamos) del Sol:
El radio que une el móvil con el Sol barre áreas iguales en tiempos
iguales.
Tomemos como origen la posición del Sol y sea ρ(θ) la trayectoria del móvil.
Sea A el sector de cónica que barre el radio que une al móvil con el Sol entre
un ángulo θ0 yunángulo θ1. Elárea de A es
dxdy =
A
1
θ1
ρ
2 θ0
2 dθ.
Hacemos el cambio θ = θ(t), donde t es el tiempo. El resultado es
t1
1
ρ
2 t0
2 (θ(t))θ ′ (t) dt = 1
t1
ρ
2 t0
2 (t)ω(t) dt = 1
t1
Ldt=
2m t0
L
2m (t1 − t0).
Así pues, el área barrida es proporcional al tiempo recorrido.
A su vez de aquí se deduce la tercera ley de Kepler, válida para móviles
que describen órbitas elípticas alrededor de un mismo cuerpo. El período de
revolución de tal cuerpo es el tiempo que tarda en recorrer una órbita completa:
Los cuadrados de los períodos de revolución son proporcionales a los
cubos de los semiejes de las órbitas.
Según vimos en el capítulo VI, la ecuación de la órbita es
ρ = L2
GMm 2
1
1+ɛ cos θ .