Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

308 Capítulo 8. Teoría de la medida II
Para terminar probaremos una versión del teorema de Riesz para medidas
signadas. Sea K un espacio topológico compacto y C(K) el espacio de todas
las funciones reales continuas sobre K. Sabemos que C(K) es un espacio de
Banach con la norma supremo. Sea C(K) ′ el espacio de las aplicaciones lineales
continuas de C(K) enR, que también es un espacio de Banach con la norma
dada por
T = sup |T (f)| f∞ ≤ 1 .
Además, para toda f ∈ C(K) se cumple |T (f)| ≤T f∞. Llamemos M(K)
al conjunto de todas las medidas signadas de Borel en K, que claramente es un
espacio normado con la norma µ = |µ|(K).
Teorema 8.32 (Teorema de representación de Riesz) Si K es un espacio
compacto, a cada funcional lineal continuo T ∈ C(K) ′ le corresponde una
única medida signada µ ∈ M(K) tal que para toda función f ∈ C(K) se cumple
T (f) = f dµ.
Además esta correspondencia es una isometría C(K) ′ −→ M(K).
Demostración: Si T fuera positivo, es decir, si T (f) ≥ 0 cuando f ≥ 0, la
versión del teorema de Riesz que probamos en el capítulo anterior nos daría la
medida que buscamos. En el caso general vamos a descomponer T en diferencia
de dos funcionales positivos. Sea C − (K) ={f ∈ C(K) | f ≥ 0} y definamos
T + (f) = sup{T (u) | u ∈ C + (K), u≤ f}, para f ∈ C + (K).
Notar que si 0 ≤ u ≤ f se cumple |T (u)| ≤T u∞ ≤T f∞, luego T + es
finito y |T + (f)| ≤T f∞.
Es claro que si α ≥ 0 se cumple T + (αf) =αT + (f). Además T + (f + g) =
T + (f)+T + (g). En efecto, si 0 ≤ u ≤ f y0≤ v ≤ g entonces 0 ≤ u + v ≤ f + g,
luego T (u)+T (v) ≤ T + (f +g). Tomando supremos T + (f)+T + (g) ≤ T + (f +g).
Recíprocamente, si w ≤ f + g es claro que u = f ∧ w y v = w − u son funciones
continuas y 0 ≤ u ≤ f, 0≤ v ≤ g, w = u + v, luego T (w) ≤ T + (f)+T + (g) y,
tomando supremos, T + (f + g) ≤ T + (f)+T + (g).
Dada f ∈ C(K) definimos T + (f) =T + (f + ) − T + (f − ). Es fácil probar
que T + : C(K) −→ R es un funcional lineal continuo positivo. Lo mismo vale
para T − = T + − T . Por el teorema de Riesz para funcionales positivos existen
medidas positivas µ+ y µ− tales que
T +
(f) = fdµ+, T −
(f) = dµ−.
K
Ambas medidas son finitas (basta aplicar las fórmulas a f = 1). Por lo tanto
podemos definir µ = µ+ − µ−, que es una medida signada en K y claramente
representa a T .
K
K