Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

40 Capítulo 1. Topología
Notar que los puntos con z = 1 no están en C. El homeomorfismo que buscamos
ha de transformar cada punto (x, y, z) deS \{N} en un punto (λx, λy, z),
donde λ ≥ 0 es el adecuado para llegar a C. La condición es
(λx) 2 +(λy) 2 = z +1
y, teniendo en cuenta que los puntos de la esfera cumplen x 2 + y 2 = √ 1 − z 2 ,
λ = 1+z
x2 + y2 =
1+z
1 − z .
Por lo tanto f : S \{N} −→C será la aplicación dada por
f(x, y, z) =
1+z
1 − z x,
1+z
y, z .
1 − z
La inversa se calcula sin dificultad a partir de esta expresión:
g(x, y, z) =
1 − z
1+z x,
1 − z
y, z , si (x, y, z) = (0, 0, −1),
1+z
y por supuesto g(0, 0, −1) = (0, 0, −1).
Obviamente f es continua. Lo mismo vale para g en todos los puntos salvo en
(0, 0, −1). Para probar la continuidad en este punto hacemos uso de la igualdad
1+z = x 2 + y 2 , que cumplen todos los puntos de C, la cual nos permite
expresar g como
2
2
g(x, y, z) = x − 1, y − 1,z .
x2 + y2 x2 + y2 Basta probar que
2
2
lím x − 1, y − 1,z =(0, 0, −1),
(x,y,z)→(0,0,−1) x2 + y2 x2 + y2 pero los dos primeros límites son el que hemos calculado como ejemplo a lo largo
de la sección.
Así pues, f es un homeomorfismo entre S \{N} y C. Ahora bien, es inmediato
comprobar que la proyección sobre el plano XY es un homeomorfismo
entre C y la bola abierta de centro 0 y radio 2 (la aplicación inversa es
(x, y) ↦→ (x, y, −1+ x2 + y2 ), claramente continua), con lo que la composición
1+z
h(x, y, z) =
1 − z x,
1+z
1 − z y
.