Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.5. Continuidad 31
Todos estos hechos se trasladan sin dificultad a los espacios afines sobre
K. Se define la topología euclídea en un espacio afín de modo que todas las
afinidades son continuas y las variedades afines son cerradas.
*Ejemplo: La topología proyectiva Un espacio proyectivo sobre K es de
la forma X =P(V ), donde V es un K-espacio vectorial de dimensión n +1.
Consideremos la aplicación P : V \{0} −→X dada por P (v) =〈v〉. Vamos
a considerar en X la menor topología que hace continua a P , es decir, los
abiertos de X serán los conjuntos G ⊂ X tales que P −1 [G] es abierto en V
(respecto a la topología euclídea). Es fácil ver que los conjuntos así definidos
determinan realmente una topología en X. En lo sucesivo consideraremos a
todos los espacios proyectivos como espacios topológicos con esta topología. La
llamaremos topología proyectiva. Vamos a probar algunos hechos en torno a
ella:
La proyección P : V \{0} −→X es continua, abierta y suprayectiva.
Sólo hemos de comprobar que es abierta. Sea G un abierto en V \{0}. Hemos
de ver que G ′ = P −1 P [G] es abierto en V \{0}. Es claro que G ⊂ G ′ . Sea
v ∈ G. Esto significa que existe un w ∈ G tal que P (v) =P ( w), luego v = αw,
para un α ∈ K. La homotecia h(x) =αx es un homeomorfismo que transforma
G en un entorno de v. Además h[G] ⊂ h[G ′ ]=G ′ , luego G ′ es entorno de v.
Las homografías entre espacios proyectivos son homeomorfismos.
Dada una homografía H : X −→ Y , sea h : V −→ W el isomorfismo que
la induce, que de hecho es un homeomorfismo. Sean P : V \{0} −→X y
P ′ : W \{0} −→Y las proyecciones que definen la topología. Entonces, si G es
abierto en Y , por definición P ′−1 [G] es abierto en W \{0}, luego h −1 P ′−1 [G] es
abierto en V \{0}, pero es fácil ver que este conjunto coincide con P −1 H −1 [G] ,
luego H −1 [G] es abierto, y el mismo razonamiento se aplica a la homografía
inversa.
Si E es un hiperplano de V que no pasa por 0, entonces P [E] es
abierto en X y P |E : E −→ P [E] es un homeomorfismo.
Claramente P |E es inyectiva y continua. Basta probar que si A es abierto
en E entonces P [A] es abierto en X. Sea B = P −1 P [A] . Basta ver que B es
abierto en V \{0}. Es claro que B = {αv | α ∈ K \{0},v ∈ A}.
Escogiendo una base adecuada v1,...,vn+1 en V podemos suponer que E
está formado por los vectores con última coordenada es xn+1 = 1. Para cada
v ∈ V sea α(v) suúltima coordenada. La aplicación α es continua. Sea G el
conjunto de vectores de V con α(v) = 0. Tenemos que G es abierto, pues su
complementario es α −1 {0} . La aplicación G −→ E dada por v ↦→ α(v) −1 v es
continua y B es la antiimagen de A por esta aplicación, luego es abierto en G,
luego en V \{0}.
Las subvariedades proyectivas de X son cerradas.