Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.2. Propiedades de las funciones diferenciables 171
Ahora vamos a encaminarnos a probar el teorema de la función inversa.
Esencialmente se trata de probar que las inversas de las funciones biyectivas y
diferenciables son diferenciables. La situación es más complicada que en el caso
de una variable, pues en el capítulo anterior vimos que toda función derivable
cuya derivada no se anula es monótona, mientras que no hay ningún resultado
análogo para el caso de varias variables. Por ello vamos a necesitar varios
resultados previos. Entre otras cosas, nos apoyaremos en el concepto de extremo
relativo y su relación con la diferenciabilidad. La situación en esto sí es análoga
a la de una variable.
Definición 4.14 Sea f : A ⊂ R n −→ R y a ∈ A. Diremos que f tiene un
mínimo relativo en a si existe un entorno G de a tal que para todo p ∈ G se
cumple f(p) ≥ f(a). Similarmente se define un máximo relativo. Diremos que
a es un extremo relativo si es un máximo o un mínimo relativo.
Teorema 4.15 Sea f : A ⊂ R n −→ R una función diferenciable en un punto
a ∈ A. Sif tiene un extremo relativo en a, entonces df (a) =0.
Demostración: Sea v ∈ R n y consideremos la función φ(h) =f(a + hv),
para un cierto vector v ∈ R n , definida en un entorno de 0. Es claro que φ tiene
un extremo relativo en 0. Sea g(h) =a + hv. Por la regla de la cadena
0=φ ′ (0) = dφ(0)(1) = df φ(0) dg(0)(1) = df (a)(v).
Teorema 4.16 Sea f : Bδ(a) ⊂ R n −→ R n una aplicación continua, diferenciable
en Bδ(a), y tal que para todo y ∈ Bδ(a) se cumpla |Jf(y)| =0. Supongamos
además que para todo x ∈ ∂Bδ(a) se cumple f(x) = f(a). Entonces
f Bδ(a) es un entorno de f(a).
Demostración: Sea g : ∂Bδ(a) −→ R la aplicación definida mediante
g(x) =f(x) − f(a). Por compacidad alcanza su mínimo en un punto x. Por
hipótesis m = g(x) > 0. Tenemos, pues, queg(z) ≥ g(x), para todo z tal que
z − a = δ. Vamos a probar que Bm/2 f(a) ⊂ f Bδ(a) .
Sea y ∈ Bm/2 f(a) . Consideremos la función h : Bδ(a) −→ R dada por
h(x) =f(x) − y. Por compacidad alcanza su mínimo en un punto z y, puesto
que h(a) =f(a) − y