Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

76 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
de aplicaciones de la forma f(x) = x + u(x)h, donde u : E −→ R es una
aplicación lineal y h es un vector del núcleo de u.
Para una transvección definimos
f(t, x) =x + tu(x)h,
que es una transvección para todo t, es continua como aplicación [0, 1]× E −→ E,
f0 =1yf1 = f.
Una homotecia lineal es de la forma f(x) =rx. Definimos la aplicación
f(t, x) = 1+t(r − 1) x. Como 1 + t(r − 1) > 0 siempre que r>0y0≤ t ≤ 1,
tenemos que ft es una homotecia lineal para todo t. Claramente se cumplen
también las otras propiedades.
Aplicando la misma técnica de composición que en el caso de los movimientos
llegamos a que todo automorfismo de E de determinante positivo cumple el
teorema.
Una biyección afín en E de determinante positivo es de la forma
f(P )=O + v + f( −→
OP),
donde O es un punto arbitrario de E y f es un automorfismo de E de determinante
positivo. Definimos f(t, P )=O + tv + ft( −→
OP). Es fácil ver que esta
aplicación cumple lo pedido.
El teorema es falso para biyecciones afines de determinante negativo, pues
con el mismo argumento que hemos empleado para las simetrías se llega a que
la aplicación det ft es una aplicación continua en el espacio conexo [0, 1] tal que
det f0 = 1, det f1 < 0 pero que nunca toma el valor 0, lo cual es imposible. Si
un endomorfismo de E tiene determinante 0 su imagen tiene dimensión menor
que E. Por consiguiente, cualquier aplicación que transforme continuamente un
conjunto en su imagen por una biyección afín de E de determinante negativo,
en un momento dado “aplanará” el espacio en una variedad afín de dimensión
menor.
Orientación Los resultados que acabamos de ver nos llevan a introducir un
concepto de orientación en un espacio vectorial (aunque casi todo el razonamiento
que sigue es independiente de lo anterior).
Definición 2.28 Diremos que dos bases ordenadas de un espacio vectorial real
de dimensión finita V tienen la misma orientación si el determinante de la matriz
de cambio de base es positivo. Alternativamente, si existe un isomorfismo de
determinante positivo que transforma una en otra.
Es inmediato comprobar que las bases de V se dividen en dos clases de
equivalencia, a las que llamaremos orientaciones de V . Si una base tiene una
determinada orientación, al cambiar de signo uno cualquiera de sus vectores
pasamos a una base con la orientación opuesta.