Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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70 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud Definición 2.20 Sea X un espacio topológico y x ∈ X. Llamaremos componente conexa de x a la unión C(x) de todos los subconjuntos conexos de X que contienen a x. Por el teorema 2.18, C(x) es un conexo, el mayor subespacio conexo de X que contiene a x. Es obvio que si x, y ∈ X, entonces C(x) yC(y) son iguales o disjuntas. En efecto, si tienen puntos en común, por el teorema 2.18 resulta que C(x) ∪ C(y) es un conexo, luego C(x) ∪ C(y) ⊂ C(x) yC(x) ∪ C(y) ⊂ C(y), con lo que C(x) =C(x) ∪ C(y) =C(y). En resumen, todo espacio X está dividido en componentes conexas disjuntas. Las componentes conexas son cerradas por el teorema 2.19. En efecto, C(x) es un conexo que contiene a x, luego C(x) ⊂ C(x). Sin embargo las componentes conexas no siempre son abiertas. Si un espacio tiene un número finito de componentes conexas, éstas serán abiertas y cerradas a la vez, evidentemente, pero si hay infinitas componentes ya no es necesario. Por ejemplo, ningún subconjunto de Q con más de un punto es conexo, porque no es un intervalo de R, luego las componentes conexas de Q son los puntos, que no son abiertos. A la hora de probar que un espacio es conexo, resulta y útil el concepto de arco. Un arco en un espacio X es una aplicación continua a :[0, 1] −→ X. El espacio X es arco- x conexo si para todo par de puntos x, y ∈ X existe un arco a :[0, 1] −→ X tal que a(0) = x, a(1) = y. Como entonces x e y están en la imagen del arco a, que es un conexo, resulta que x e y están en la misma componente conexa de X, o sea, que X tiene una única componente conexa: Los espacios arco-conexos son conexos. El recíproco no es cierto, pero no vamos a dar un ejemplo. Dados dos puntos x, y ∈ Rn , el segmento que los une está formado por los puntos de la forma y + λ(x − y), con λ ∈ [0, 1]. Esto se puede definir en cualquier K-espacio vectorial. Si V es un espacio vectorial topológico y x, y ∈ V , entonces la aplicación a :[0, 1] −→ V dada por a(λ) =λx +(1−λ)y es un arco (el segmento) que une x con y. Un subconjunto A de un K-espacio vectorial V es convexo si para todos los puntos x, y ∈ A ytodoλ∈ [0, 1] se cumple λx +(1−λ)y ∈ A, es decir, si cuando A contiene a dos puntos, también contiene al segmento que los une. Uniendo todo esto, resulta que en un espacio vectorial topológico, todo convexo es arco-conexo, luego conexo. En particular todo espacio vectorial topológico es conexo. En particular Kn es conexo. Ejercicio: Probar que toda esfera de centro O en R n es imagen continua de R n \{0}. Probar que R n \{0} es conexo y deducir de aquí la conexión de la esfera. Ejercicio: Probar que R 2 no es homeomorfo a R. Los conjuntos convexos tienen una propiedad que en general no cumplen los conexos, y es que, claramente, la intersección de convexos es convexa.
2.2. Espacios conexos 71 Ejemplo Las bolas en los espacios normados son convexas. En efecto, si x, y ∈ Bɛ(z), entonces x − z
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