Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

74 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
Vamos a admitir la continuidad de las funciones trigonométricas. La demostraremos
en el capítulo III.
Consideremos ahora la aplicación f :[0, 1] × E −→ E tal que si el punto
x tiene coordenadas (x1,...,xn) en el mismo sistema de referencia, entonces
ft(x) =f(t, x) es el punto de coordenadas (x ′ 1,...,x ′ n) dadas por
x ′ 1 = x1 cos tα − x2 sen tα,
x ′ 2 = x1 sen tα + x2 cos tα
x ′ 3 = x3,
··· ···
x ′ n = xn
Claramente entonces, para cada t ∈ [0, 1], la aplicación ft es un giro de
ángulo tα, de modo que f0 es la identidad y f1 = f. Además la aplicación f es
continua. Veamos que podemos obtener una aplicación similar para movimientos
arbitrarios:
Teorema 2.25 Si f es un movimiento en un espacio afín euclídeo E existe una
aplicación continua f :[0, 1] × E −→ E tal que para todo t ∈ [0, 1], la aplicación
ft(x) =f(t, x) es un movimiento, f0 =1y f1 = f.
Demostración: Lo probamos por inducción sobre el número de giros en
que se descompone f. Ya lo tenemos probado cuando f es un giro. Basta probar
que si f cumple el teorema, g es un giro y h = fg entonces h cumple el teorema.
Tenemos, pues, las aplicaciones ft y gt. Sea h :[0, 1] × E −→ E dada por
f(2t, x) si 0 ≤ t ≤ 1/2,
h(t, x) =
g 2t − 1,f(x)
si 1/2