Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.1. Variedades 199
(c − xA)B −1 , donde la función f es obviamente de clase C ∞ . Esto significa que
la variedad lineal está formada por los puntos (x, y) tales que y = f(x), luego
es la gráfica de f y por consiguiente es una variedad de clase C ∞ .
Ahora probamos que las soluciones de un sistema de k = m−n ecuaciones diferenciables
con m incógnitas constituyen una variedad de dimensión n supuesto
que se cumpla una condición de independencia similar a la independencia lineal
que exigíamos en el ejemplo anterior.
Definición 5.6 Si f : A ⊂ Rn+k −→ Rk es diferenciable en (x, y) ∈ A, donde
x ∈ Rn , y ∈ Rk , definimos
∂(f1 ···fk)
Dn+1f1(x, y) ··· Dn+1fk(x, y)
(x, y) =
.
.
.
∂(y1 ···yk) .
.
. .
Dn+kf1(x, y) ··· Dn+kfk(x, y)
Teorema 5.7 (Teorema de la función implícita) Consideremos una aplicación
f : A ⊂ R n+k −→ R k de clase C q en el abierto A, conq ≥ 1. Sea
(x 0 ,y 0 ) ∈ A tal que f(x 0 ,y 0 )=0y supongamos que
∂(f1 ···fk)
∂(y1 ···yk) (x0 ,y 0 ) = 0.
Entonces existen abiertos V ⊂ A, U ⊂ R n de modo que (x 0 ,y 0 ) ∈ A, x 0 ∈ U y
una función g : U −→ R k de clase C q tal que
{(x, y) ∈ V | f(x, y) =0} = {(x, y) ∈ R n+k | x ∈ U, y = g(x)}.
Demostración: Sea F : A −→ Rn+k la función F (x, y) =(x, f(x, y)). Sus
funciones coordenadas son las proyecciones en las componentes de Rn más las
funciones coordenadas de f, luego F es de clase Cq . Su determinante jacobiano
es
1 ··· 0 D1f1(x, y) ··· D1fk(x, y)
. .
. . .
. .
.
.
.
.
0 ··· 1 Dnf1(x, y) ··· Dnfk(x, y)
,
0 ··· 0 Dn+1f1(x, y) ··· Dn+1fk(x, y)
. .
. . .
. .
.
0 ··· 0 Dn+kf1(x, y) ··· Dn+kfk(x, y)
que claramente coincide (salvo signo) con
∂(f1 ···fk)
(x, y).
∂(y1 ···yk)
Así |JF (x 0 ,y 0 )|= 0. Por el teorema de inyectividad local existe un entorno
V de (x 0 ,y 0 ) donde F es inyectiva y su determinante jacobiano no se anula. Por