Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.3. Curvas parametrizables 187
Es claro que
1 d
T − ¯ 2
T + N − ¯ 2
N + B − ¯ 2
B
2 ds
=(T − ¯ T )(T ′ − ¯ T ′ )+(N − ¯ N)(N ′ − ¯ N ′ )+(B − ¯ B)(B ′ − ¯ B ′ )
Aplicando las fórmulas de Frenet queda
κ(T − ¯ T )(N − ¯ N)−κ(N − ¯ N)(T − ¯ T )−τ(N − ¯ N)(B − ¯ B)+τ(B − ¯ B)(N − ¯ N)=0,
luego T = ¯ T , N = ¯ N, B = ¯ B, pues las diferencias son constantes y se anulan
en s0. La primera igualdad es x ′ =¯x ′ , y como ambas funciones coinciden en s0
ha de ser x =¯x.
Como consecuencia, si una curva plana tiene curvatura constante κ, entonces
es un arco de circunferencia de radio r =1/κ, pues su curvatura y su torsión
(nula) coinciden con las de la circunferencia. Las curvas de curvatura nula son
las rectas.
Sistemas de referencia no inerciales A la hora de medir la posición de un
objeto físico es necesario tomar a otro como referencia. Aunque en la práctica
las coordenadas cartesianas no son siempre las más apropiadas, teóricamente
podemos imaginar que seleccionamos un objeto rígido en el que marcamos cuatro
puntos a los que asignamos las coordenadas (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
y con respecto a ellos determinamos la posición de cualquier otro punto del
espacio.
Podría parecer conveniente exigir que el objeto mediante el cual definimos
nuestro sistema de referencia esté en reposo, para evitar que las coordenadas de
un cuerpo varíen por causa del movimiento del sistema de referencia y no por
su propio movimiento. Sin embargo la Tierra, el Sol y las estrellas se mueven
por el espacio, luego no tenemos a nuestra disposición ningún objeto del que
podamos garantizar que está en reposo. Más aún, la física enseña que el requisito
mismo no tiene sentido, pues no existe forma de dar sentido al concepto de
“reposo absoluto”, sino que el concepto de movimiento es esencialmente relativo
al sistema de referencia que adoptemos.
Pese a ello, no todos los sistemas de referencia son equivalentes. Una clase
especial de ellos la forman los determinados por objetos libres de toda influencia
externa. Uno de los postulados básicos de la física es que si dos objetos están
libres de toda influencia externa, su movimiento relativo será uniforme, es decir,
al tomar como referencia a uno de ellos el otro se moverá (en línea recta) con
velocidad constante, tal vez nula. A los sistemas de referencia en estas condiciones
se les llama inerciales, de modo que la primera ley de Newton, de la que ya
hemos hablado, afirma en realidad que la velocidad de un cuerpo libre de toda
influencia exterior medida desde un sistema de referencia inercial permanece
constante.
Esta ley no es aplicable a sistemas no inerciales. Por ejemplo, enseguida
justificaremos que un tren que se mueve con velocidad constante puede ser