Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.2. Espacios tangentes, diferenciales 207
Demostración: Sean X e Y cartas alrededor de p y f(p) respectivamente.
Digamos que X(x) =p e Y (y) =f(p). Sea β la representación de α en la
carta X, es decir, α = β ◦ X. Entonces v = α ′ (t0) =dX(x) β ′ (t0) .
Podemos descomponer α ◦ f = α ◦ X−1 ◦ X ◦ f ◦ Y −1 ◦ Y . Con la notación
que hemos empleado en la definición de df (p) tenemos α ◦ f = β ◦ j ◦ Y . Esto
prueba que α ◦ f es derivable en t0 y además
(α ◦ f) ′
(t0) =dY (y) dj(x) β ′ (t0)
= dY (y) dj(x) dX(x) −1 (v)
= df (p)(v).
Es inmediato comprobar que la regla de la cadena sigue siendo válida para
aplicaciones diferenciables entre variedades, es decir,
d(f ◦ g)(p) =df (p) ◦ dg f(p) .
De aquí se sigue en particular que si f es un difeomorfismo, entonces df (p)
es un isomorfismo y df −1 f(p) = df (p) −1 .
Si S ⊂ T ⊂ R m son variedades diferenciables entonces el teorema anterior
prueba que la diferencial de la inclusión i : S −→ T en cada punto p ∈ S es
simplemente la inclusión de Tp(S) enTp(T ). De aquí se sigue que la diferencial
en un punto p de la restricción a S de una función f diferenciable en T es
simplemente la restricción de df (p) aTp(S), pues la restricción no es más que
la composición con la inclusión.
Si X : U −→ S es una carta de una variedad S alrededor de un punto
p, entonces sus coordenadas asociadas xi son ciertamente diferenciables. Más
concretamente, si πi : Rn −→ R es la proyección en la i-ésima coordenada,
tenemos que xi = X−1 ◦ πi, luego dxi(p) =dX(p) −1 ◦ dπi(x) y en particular
1
dxi(p)(DjX(x)) = dπi(x)(ej) =
0
si i = j
si i = j
es decir, las aplicaciones dxi(p) forman la base dual de D1X(x),...,DnX(x).
Por consiguiente, para cada v ∈ Tp(S) se cumple que dxi(p)(v) es la coordenada
correspondiente a DiX(x) en la expresión de v como combinación lineal de las
derivadas de X.
Ejemplo Consideremos el plano tangente a R 2 en el punto p =(1, 1) (que
es el propio R 2 ). La base asociada a la carta identidad es simplemente la base
canónica (e1,e2), y su base dual es la dada por las proyecciones dx(p), dy(p).
También podemos considerar también la carta determinada por las coordenadas
polares (ρ, θ), es decir, (x, y) =(ρ cos θ, ρ sen θ). Su base asociada es la formada
por las derivadas parciales:
v1(ρ, θ) = (cos θ, sen θ), v2(ρ, θ) =(−ρ sen θ, ρ cos θ).