Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.3. La integral de Lebesgue 265
En efecto, por el teorema 7.10 existe una sucesión monótona de funciones
simples {sn} ∞ n=1 convergente a f y, por el teorema anterior,
fdµ=lím sn dµ.
X
n
X
Pero para funciones simples es inmediato que
X αsn dµ = α
X sn dµ, luego
tomando límites tenemos el mismo resultado para f.
Otra aplicación importante es que la integral conserva las sumas, incluso las
infinitas.
Teorema 7.16 Sea X un espacio medida y sea {fn} ∞ n=1 una sucesión de funciones
no negativas medibles en X. Entonces
∞
∞
fn dµ = fn dµ.
X n=1
Demostración: Probaremos en primer lugar que si f y g son medibles y
no negativas, entonces
(f + g) dµ = fdµ+ g dµ.
X
X
X
Tomamos dos sucesiones monótonas {sn} ∞ n=1 y {tn} ∞ n=1 de funciones simples
convergentes a f y g respectivamente (existen por el teorema 7.10).
Por el teorema 7.12 sabemos que
X (sn + tn) dµ =
X sn dµ +
X tn dµ y,
tomando límites, el teorema de la convergencia monótona nos da la igualdad
buscada. En el caso general sabemos, por lo que acabamos de probar, que
X n=1
k
fn dµ =
k
n=1
X
n=1
X
fn dµ para k =1, 2, 3,...
k
Las funciones fn forman una sucesión monótona de funciones medibles,
n=1
luego por el teorema de la convergencia monótona
∞
∞
fn dµ = fn dµ.
X n=1
n=1
Generalizamos ahora la primera parte del teorema 7.12.
Teorema 7.17 Sea X un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] una función
medible. Para cada subconjunto medible E de X definimos ν(E) =
X fdµ.
Entonces ν es una medida en X.