Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

54 Capítulo 1. Topología
Recíprocamente, todo número cuya expresión decimal sea de esta forma es
un número racional. Veámoslo con un ejemplo. r =37, 195 ⌢
513. Vamos a
encontrar una fracción igual a r. El método es general. Multiplicamos por un
1 seguido de tantos ceros como cifras hay en el período más el anteperíodo:
(100.000)r =3.719.513, ⌢
513 .
Le restamos r multiplicado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras hay en
el anteperíodo:
(1.000.000)r − (1.000)r =3.719.513+0, ⌢
513 −3.719 − 0, ⌢
513= 3.715.794.
Por consiguiente
r = 3.715.794
999.000 .
Un problema que surge a menudo es el de determinar si una serie dada an es
o no convergente. Lo más elemental que puede decirse al respecto es que para
que una serie converja su término general ha de tender a 0. En efecto:
Teorema 1.87 Sea {an} ∞ n=0 una sucesión en K. Si la serie ∞
an es conver-
n=0
gente, entonces lím an =0.
n
Demostración: Sea Sk = k
an. Que la serie converja a un número
n=0
L significa por definición que existe lím Sk = L. En tal caso también existe
k
lím Sk−1 = L, pues es el límite de una subsucesión, y entonces
k
lím k ak =lím k (Sk − Sk−1) =L − L =0.
Así, si no sumamos cada vez cantidades más pequeñas la serie no puede
converger. El recíproco es tentador, pero falso. Basta considerar la serie determinada
por la más sencilla de las sucesiones que tienden a 0:
Ejemplo La serie ∞ 1
n es divergente.
n=1
En efecto, observemos que
S1 = 1,
S2 = 1+ 1
2 ,
S4 = S2 + 1 1
+
3 4 >S2 + 2
4 =1+1
1
+
2 2 ,
S8 = S4 + 1 1 1 1
+ + +
5 6 7 8 >S4 + 4
1 1
> 1+1 + +
8 2 2 2 .