Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

316 Capítulo 8. Teoría de la medida II
Ahora podemos aplicar el teorema 8.38, según el cual existe dµk/dm p.c.t.p.,
es integrable Lebesgue y para todo conjunto medible E se cumple
dµk
µk(E) =
E dm dm.
En principio 8.38 prueba esto para conjuntos de Borel, pero la igualdad se
extiende obviamente a conjuntos medibles arbitrarios. Del teorema 8.39 se sigue
fácilmente que si x ∈ Uk entonces
dµk
= |∆g(x)|.
dm
En total hemos probado que si E es medible entonces
m g[E ∩ Uk]
= χE|∆g| dm.
Por el teorema de la convergencia monótona concluimos que
m g[E ∩ U]
= χE|∆g| dm. (8.7)
Vamos a deducir de aquí que si A es un conjunto medible, entonces
χA dm = (g ◦ χA)|∆g| dm.
V
U
Basta tomar E = g−1 (A) ⊂ U. El comentario previo al teorema prueba que
E es medible y claramente χE = g ◦ χA. Además g[E ∩ U] =g[E] =A ∩ V ,
luego (8.7) se convierte en la igualdad buscada.
De aquí se sigue la fórmula del enunciado para el caso en que f es una función
simple no negativa. Por el teorema de la convergencia monótona llegamos al
mismo resultado para funciones medibles no negativas y a su vez se extiende a
toda función integrable aplicándolo a f + y f − .
Ejemplo Consideremos una curva cerrada en R ρ(θ)
θ
2 que
rodee a (0, 0) y admita una expresión en coordenadas
polares ρ = ρ(θ) (es decir, que corte a cada semirrecta
de origen (0, 0) en un único punto). El recinto S limitado
por la curva estará formado por los puntos (ρ0,θ0)
tales que 0 ≤ ρ0 ≤ ρ(θ0). Para calcular el área de S
efectuamos el cambio de variables x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, cuyo jacobiano es ρ.
Así, el área se puede calcular como
S
dxdy =
2π ρ(θ)
0
0
Uk
U
ρ dρdθ =
(Hemos aplicado el teorema anterior en el abierto
2π
{(ρ, θ) | 0