Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

46 Capítulo 1. Topología
más fácil considerar directamente la base de entornos de ∞ formada por los
conjuntos siguientes:
En = {z ∈ C |z| >n} ∪ {∞}, para n =1, 2,...
En R, una base de entornos de +∞ es ]n, +∞] } ∞ n=0 y una base de entornos
de −∞ es [−∞,n[ } ∞ n=0, luego este espacio también cumple 1AN.
Observemos que si X es un espacio que cumple 1AN y x ∈ X, podemos
tomar una base de entornos de x de la forma {Vn} ∞ n=0 que cumpla además
V0 ⊃ V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ ...
Si una base dada {Wn} ∞ n=0 no lo cumple, tomamos Vn = W0 ∩···∩Wn yasí
tenemos las inclusiones indicadas. Todas las bases de entornos de los ejemplos
que acabamos de dar son decrecientes en este sentido.
Consideremos ahora esta sucesión:
1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ...
Es obvio que no es convergente, pero sin duda hay dos puntos “especiales”
para esta sucesión, el 1 y el −1. Quizá el lector se sienta tentado de afirmar que
se trata de una sucesión con dos límites, pero nuestra definición de límite no
admite esa posibilidad. Vamos a dar una definición que describa esta situación.
Definición 1.80 Un punto x de un espacio topológico X es un punto adherente
de una sucesión {an} ∞ n=0 en X si para cada entorno V de x y cada número
natural n existe un número natural m ≥ n tal que am ∈ V .
Es decir, si la sucesión contiene puntos arbitrariamente lejanos en cualquier
entorno de x o, si se prefiere, si la sucesión contiene infinitos puntos en cada
entorno de x.
En estos términos, la sucesión {(−1) n } ∞ n=0 que hemos puesto como ejemplo
tiene exactamente dos puntos adherentes, 1 y −1.
Teorema 1.81 Sea X un espacio 1AN. Un punto x ∈ X es un punto adherente
de una sucesión {an} ∞ n=0 si y sólo si ésta contiene una subsucesión que converge
a x.
Demostración: Si x es un punto adherente de la sucesión, sea {Vn} ∞ n=0
una base decreciente de entornos de x. Existe un punto an0 ∈ V0. Existe un
natural n1 ≥ n0 + 1 tal que an1 ∈ V1. Existe un natural n2 ≥ n1 + 1 tal que
an2 ∈ V2. De este modo obtenemos una subsucesión {ank }∞ k=0 tal que cada
ank ∈ Vk y, como la sucesión de entornos es decreciente, en realidad Vk contiene
todos los términos de la subsucesión posteriores a ank , luego la subsucesión que
hemos obtenido está finalmente en cada entorno Vk, es decir, converge a x.
Recíprocamente, si hay una subsucesión que converge a x, dicha subsucesión
está finalmente en cualquier entorno de x, luego dicho entorno contiene infinitos
términos de la sucesión dada.