Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

238 Capítulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias
El polinomio de la derecha es el polinomio de Taylor del arco tangente, luego
x
|R2n+1(x)| =
t
2n+2
dt
1+t2 ≤
x
t 2n+2
|x|2n+3
dt
=
2n +3 ,
a
0
de donde se sigue que el resto tiende a cero incluso si x = ±1, como había que
probar.
Finalmente definimos la integral de una función f :[a, b] −→ Rn como
b
b
b
f(x) dx = f1(x) dx,..., fn(x) dx ,
a
entendiendo que f es integrable Riemann en [a, b] siysólo si lo son todas sus
funciones coordenadas fi.
6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden
Nos ocupamos ahora de asegurar la existencia y unicidad de la solución de
los problemas de Cauchy. Nos basaremos en un resultado general sobre espacios
métricos completos:
Teorema 6.5 (Teorema de punto fijo de Banach) Sea M un espacio métrico
completo y T : M −→ M una aplicación tal que existe un número real
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