Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

72 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
mediante j(t) =2t. Claramente a ∪ b es un arco cuya imagen es la unión de las
imágenes de a y b. En particular (a ∪ b)(0) = a(0)y(a∪ b)(1) = b(1).
Esto significa que si podemos unir un punto x con un punto y a través de
un arco a, y podemos unir un punto y con un punto z a través de un arco b,
entonces podemos unir x con z mediante el arco a ∪ b.
Por otra parte, si a es un arco en un espacio X, la aplicación −a :[0, 1] −→ X
dada por (−a)(t) =a(1 − t) es un arco con la misma imagen pero de modo que
(−a)(0) = a(1)y(−a)(1) = a(0). También es obvio que un arco constante une
un punto consigo mismo.
De todo esto se sigue que la relación“xeysepueden unir mediante un arco”
es reflexiva, simétrica y transitiva en todo espacio X.
Teorema 2.21 Sea X un espacio localmente arco-conexo. Entonces un abierto
de X es conexo si y sólo si es arco-conexo.
Demostración: Obviamente los abiertos arco-conexos son conexos. Supongamos
que A es un abierto conexo no vacío. Sea x ∈ A. Sea U el conjunto
de todos los puntos de A que pueden ser unidos con x mediante un arco contenido
en A.
Veamos que U es abierto (en X oenA, es lo mismo). Sea y ∈ U. Entonces
existe un arco a en A tal que a(0) = x, a(1) = y. Como X es localmente arcoconexo
existe un abierto arco-conexo V tal que y ∈ V ⊂ A. Siz ∈ V , entonces
hay un arco b en V (luego en A) que une y con z, luego a ∪ b es un arco en A
que une x con z, luego z ∈ U.
Por lo tanto V ⊂ U yasí U es un entorno de y. Tenemos, pues, que U es
entorno de todos sus puntos, luego es un abierto.
Ahora veamos que U es un cerrado en A, o lo que es lo mismo, que A \ U
es abierto. Como U no es vacío, por conexión tendrá que ser U = A, lo que
significa que A es arco-conexo.
Si y ∈ A \ U, entonces y no puede ser unido a x mediante un arco. Existe un
abierto arco-conexo V tal que y ∈ V ⊂ A, pero los puntos de V pueden unirse
a y mediante un arco. Si alguno de estos puntos z pudiera unirse a x mediante
un arco a, tendríamos un arco b que une a y con z y un arco a que une z con x,
luego y se podría unir con x. Por lo tanto ningún punto de V puede unirse con
x, es decir, V ⊂ A \ U, luego A \ U es abierto.
Una poligonal es una unión de un número finito de segmentos. Una pequeña
modificación del teorema anterior permite probar que en un espacio localmente
convexo, un abierto es conexo si y sólo se es conexo por poligonales, es decir,
todo par de puntos se puede unir por una poligonal.
Ahora vamos con las aplicaciones de la conexión. El resultado principal es
el siguiente hecho obvio:
Teorema 2.22 (Teorema de los valores intermedios) Si X es un espacio
conexo, f : X −→ R es una aplicación continua, x, y son puntos de X y
f(x)