Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

450 Capítulo 13. Aplicaciones al electromagnetismo
De este modo, H determina el campo magnético que se generaría en ausencia
del medio. En medios homogéneos tenemos la relación B = µH. Los vectores
B y H tienden a infinito en las proximidades de las cargas y en las direcciones
perpendiculares a la velocidad. Ello se debe a que las cargas puntuales son
sólo una aproximación válida lejos de las mismas. Veamos cuál es el campo
magnético generado por una distribución continua de cargas en movimiento.
Además de la densidad de carga ρ necesitamos el campo de velocidades v. En
realidad el campo magnético depende de la densidad de corriente ı = ρv. Según
razonamos al hablar de fluidos, la interpretación de ı es que su flujo a través de
una superficie es la cantidad de carga eléctrica que la atraviesa por unidad de
tiempo. En particular, ı se mide en culombios por segundo y metro cuadrado.
La unidad culombio/segundo recibe el nombre de amperio, luego la densidad de
corriente ı se mide en amperios por metro cuadrado. El flujo de ı se mide en
amperios.
Una porción infinitesimal de espacio de volumen dm(y) contiene una carga
ρdm(y), luego genera un campo magnético en x dado por
dH(y) = 1 ρ(y)v(y) ∧ (x − y)
4π x − y3 dm(y).
Por el principio de superposición, si la carga está contenida en la región Ω
el campo magnético total en x ∈ R3 será
H(x) = 1
4π
Ω
ı(y) ∧ (x − y)
x − y 3
dm(y).
Vamos a justificar que esta integral existe siempre (supondremos que ı es
una función de clase C2 y acotada en Ω). Unas simples comprobaciones nos
dan
ı(y) ∧ (x − y)
x − y3 1
ı(y)
= ∇x ∧ı(y) = rotx
x − y x − y .
Por consiguiente
H(x) = 1
4π rot
ı(y)
Ω x − y dm(y).
Las componentes de la última integral son potenciales newtonianos, luego la
integral existe y la que define a H también. Definimos el potencial vectorial del
campo magnético como
A(x) = µ
ı(y)
4π Ω x − y dm(y),
con lo que B = rot A, lo que a su vez implica div B = 0. Por otra parte, el
teorema 10.19 nos da la relación ∆A = −µı.
Vamos a calcular el rotacional de H. Por la definición del laplaciano vectorial
tenemos que
µ rot H = rot rot A = ∇ div A − ∆A = ∇ div A + µı.