Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

Capítulo VIII
Teoría de la medida II
En este capítulo profundizaremos en la teoría de la medida hasta obtener
los principales resultados necesarios para trabajar con integrales de funciones de
varias variables. Los resultados más importantes serán el teorema de Fubini, que
reduce el cálculo de la integral de una función de n variables al de n integrales
sucesivas de funciones de una variable, y el teorema de cambio de variable, que
generaliza al que ya conocemos para funciones de una variable (integración por
sustitución).
8.1 Producto de medidas
Aquí vamos a definir un producto de medidas, de modo que, por ejemplo,
la medida de Lebesgue en R n será el producto de la medida de Lebesgue en R
consigo misma n veces. Después probaremos el teorema de Fubini, que reduce
el cálculo de una integral respecto a la medida producto al cálculo de integrales
respecto a los factores.
Definición 8.1 Sean X e Y dos conjuntos y A, B dos σ-álgebras de subconjuntos
de X e Y respectivamente (a cuyos elementos llamaremos conjuntos medibles).
Un rectángulo medible en X × Y es un conjunto de la forma A × B,
donde A ∈ A y B ∈ B. Llamaremos figuras elementales a las uniones disjuntas
de rectángulos medibles. Llamaremos A × B alaσ-álgebra generada por
los rectángulos medibles. Cuando hablemos de conjuntos medibles en X × Y
entenderemos que nos referimos a los de A × B.
Si E ⊂ X × Y , x ∈ X, y ∈ Y , definimos las secciones de E determinadas
por x e y como
Ex = {y ∈ Y | (x, y) ∈ E}, E y = {x ∈ X | (x, y) ∈ E}.
Teorema 8.2 En las condiciones anteriores, si E es medible en X×Y , entonces
Ex y E y son medibles en Y yenX respectivamente.
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