Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12.2. Funciones holomorfas 433
entorno de z0 que no se anula en z0. Por consiguiente f(z) =(z −z0) −n (1/g(z)),
donde el segundo factor es una función holomorfa en un entorno de z0 que no
se anula. Desarrollándola en serie de Taylor vemos que f tiene un polo en z0,
en contra de lo supuesto.
Como los casos que hemos considerado son todos los posibles y se excluyen
mutuamente, hemos probado lo siguiente:
Teorema 12.18 Sea z0 una singularidad aislada de una función holomorfa f.
Entonces
a) z0 es una singularidad evitable de f siysólo si f está acotada en un
entorno de z0. Además en tal caso existe lím f(z) ∈ C.
z→z0
b) z0 es un polo de f siysólo si lím f(z) =∞.
z→z0
c) z0 es una singularidad esencial de f siysólo si f no tiene límite (finito
o infinito) en z0.
Definición 12.19 Si z0 es una singularidad aislada de una función holomorfa
f se llama residuo de f en z0 al coeficiente a−1 de su serie de Laurent en z0. Lo
representaremos por Res(f,z0).
El residuo de f es lo único que influye al calcular una integral a lo largo de
una circunferencia que rodee a z0 y a ninguna otra singularidad de f. En efecto,
si una función f es holomorfa en BR(z0) \{z0} y0