Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

64 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
De este modo, partiendo de I =[0, 1] podemos formar los intervalos I0, I1,
I00, I01, I10, I11, etc. Más exactamente, para cada aplicación s : N −→ {0, 1}
y cada n ∈ N, si llamamos s|n = s0 ...sn−1, tenemos definidos los intervalos
Is|n (entendiendo que Is|0 = I), y es claro que forman una sucesión decreciente,
es decir, si m ≤ n entonces Is|n ⊂ Is|m . Por lo tanto, {Is|n } ∞ n=0 es una familia
de cerrados en I con la propiedad de la intersección finita. Por compacidad
tenemos que Is = ∞
Is|n = ∅. Más aún, es claro que la longitud (el diámetro)
n=0
de I s|n es 1/3 n , y como Is ⊂ I s|n , necesariamente el diámetro de Is ha de ser
menor o igual que 1/3 n para todo n, es decir, ha de ser 0. Esto implica que Is
contiene un único punto. Digamos Is = {xs}.
También es claro que si s = t entonces xs = xt. En efecto, si n es el primer
natural tal que s|n+1 = tn+1, entonces I s|n = I t|n y los intervalos I s|n+1 , I t|n+1
son subconjuntos disjuntos. Como contienen a xs y xt respectivamente, éstos
han de ser puntos distintos.
Esto prueba que |I| ≥|2 N | =2 ℵ0 . Por otra parte, |R| ≤2 ℵ0 , pues si a
cada r ∈ R le asignamos el conjunto de los números racionales menores que r
obtenemos una aplicación inyectiva de R en las partes de Q. Por consiguiente
tenemos que |I| = |R| =2 ℵ0 .
Teorema 2.9 (Teorema de Tychonoff) El producto de espacios compactos
es compacto.
Demostración: Sea K =
Ki un producto de espacios compactos. To-
i∈I
memos una familia B de cerrados en K con la propiedad de la intersección
finita. Hemos de probar que su intersección es no vacía. El conjunto de todas
las familias de subconjuntos de K (no necesariamente cerrados) que contienen
a B y tienen la propiedad de la intersección finita, parcialmente ordenado por
la inclusión, satisface las hipótesis del lema de Zorn, lo que nos permite tomar
una familia maximal U. Entonces
U ⊂
B, luego basta probar que la
primera intersección es no vacía.
U∈U
B∈B
En primer lugar observamos que si un conjunto A ⊂ K corta a todos los
elementos de U entonces está enU, pues en caso contrario U ∪{A} contradiría
la maximalidad de U.
Sea pi : K −→ Ki la proyección en el factor i-ésimo. Es fácil ver que la
familia {pi[U] | U ∈ U} tiene la propiedad de la intersección finita luego, por la
compacidad de Ki, existe un punto xi ∈ Ki tal que xi ∈ pi[U] para todo U ∈ U.
Estos puntos determinan un punto x ∈ K. Basta probar que x ∈
U.
Fijemos un entorno básico de x, de la forma A =
i∈F
U∈U
p −1
i [Gi], donde F ⊂ I
es finito y Gi es abierto en Ki. Para cada U ∈ U tenemos que xi ∈ pi[U],
luego Gi ∩ pi[U] = ∅, luego p −1
i [Gi] ∩ U = ∅. Como esto es cierto para todo
U ∈ U, según hemos observado antes podemos concluir que p −1
i [Gi] ∈ U, para
todo i ∈ F . Como U tiene la propiedad de la intersección finita, A ∈ U. De
aquí se sigue que A corta a todo U ∈ U y, como A es un entorno básico de x,
esto implica que x ∈ U para todo U ∈ U.