Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

190 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
Tierra y Vr ∧ k apunta hacia el este, por lo que los cuerpos que caen sufren una
desviación hacia el este, nula en los polos y máxima en el ecuador.
Si el movimiento se realiza sobre la superficie de la Tierra observamos que k
apunta hacia el exterior de la misma en el hemisferio norte y hacia el interior en
el hemisferio sur, por lo que Vr ∧k apunta hacia la derecha de Vr en el hemisferio
norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Si descomponemos esta fuerza
en dos vectores, uno en la dirección del centro de la Tierra y otro tangente a la
misma, la gravedad hace inadvertible la primera componente, pero la segunda
es apreciable. Ésta es nula en el ecuador y máxima en los polos. Puesto que se
dirige siempre hacia el mismo lado, la fuerza de Coriolis hace girar los objetos,
y se pone de manifiesto en los líquidos y gases, por ejemplo, el agua que cae por
un desagüe gira en sentido horario en el hemisferio norte, en sentido antihorario
en el hemisferio sur y no gira en las proximidades del ecuador. También puede
apreciarse su efecto sobre un péndulo suficientemente largo y pesado (péndulo
de Foucault).
*Longitud de arcos no euclídeos Veamos ahora cómo se generalizan los
resultados sobre longitud de arcos a las geometrías hiperbólica y elíptica. Comencemos
por la primera. Consideremos un arco X(t) = x(t),y(t),z(t) en
el plano proyectivo P 2 (R) contenido en el interior de una cónica de ecuación
f(X, X) = 0. Llamamos s(t) a la longitud de arco que queremos definir. Lo
haremos determinando su derivada como en el caso euclídeo. La idea central es
que si d representa la distancia hiperbólica entre dos puntos, entonces
s(t + h) − s(t)
h
≈ dX(t + h),X(t)
,
|h|
y la aproximación será mejor cuanto menor sea h, pues si X es derivable se parece
a una recta alrededor de X(t), luego el límite cuando h → 0 en el cociente de la
izquierda nos dará la derivada de s. Para calcular este límite usaremos que
senh v
lím
v→0 v =1
y que
f
senh d(X, Y )=
2 (X, Y ) − f(X, X)f(Y,Y )
.
f(X, X)f(Y,Y )
Así pues,
ds
dt =lím
1 f
h→0 |h|
2X(t),X(t + h) − f X(t),X(t) f X(t + h),X(t + h)
f X(t),X(t) f .
X(t + h),X(t + h)
Sea X(t + h) =X(t) +∆X(t, h).
anterior se simplifica:
Usando que f es bilineal la expresión
ds
dt
=
1
lím
h→0 |h|
f 2 (X, ∆X) − f(X, X)f(∆X, ∆X)
f(X, X) f(X, X)+2f(X, ∆X)+f(∆X, ∆X)