Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2 Capítulo 1. Topología
Una forma de dar rigor al concepto de “puntos de alrededor” de un punto
dado es a través de una distancia. Veremos que no es lo suficientemente general,
pero sí muy representativa. La formalización algebraica de la geometría euclídea
se lleva a cabo a través de Rn . Su estructura vectorial permite definir los puntos,
rectas, planos, etc. y a ésta hay que añadirle la estructura métrica derivada del
producto escalar:
n
xy =
i=1
xi yi.
A partir de él se definen los dos conceptos fundamentales de la geometría
métrica: la longitud de un vector y el ángulo entre dos vectores. En efecto, la
longitud de un vector es la norma
x = √
xx = n
x2 i ,
yelángulo α que forman dos vectores no nulos x, y viene dado por
cos α = xy
xy .
Estas estructuras son demasiado particulares y restrictivas desde el punto
de vista topológico. La medida de ángulos es un sinsentido en topología, y la de
longitudes tiene un interés secundario, pues no importan las medidas concretas
sino tan sólo la noción de proximidad. En primer lugar generalizaremos el
concepto de producto escalar para admitir como tal a cualquier aplicación que
cumpla unas mínimas propiedades:
Definición 1.1 Usaremos la letra K para referirnos indistintamente al cuerpo
R de los números reales o al cuerpo C de los números complejos. Si α ∈ K,
la notación ¯α representará al conjugado de α si K = C o simplemente ¯α = α
si K = R. Si H es un K-espacio vectorial, un producto escalar en H es una
aplicación · : H × H −→ K que cumple las propiedades siguientes:
a) x · y = y · x,
b) (x + y) · z = x · z + y · z,
c) (αx) · y = α(x · y),
d) x · x ≥ 0yx · x =0siysólo si x =0,
para todo x, y, z ∈ H ytodoα∈K. Notar que a) y b) implican también la propiedad distributiva por la derecha:
x · (y + z) =x · y + x · z.
Un espacio prehilbertiano es un par (H, ·), donde H es un K-espacio vectorial
y · es un producto escalar en H. Enlapráctica escribiremos simplemente H en
lugar de (H, ·).
Si H es un espacio prehilbertiano, definimos su norma asociada como la
aplicación : H −→ R dada por x = √ x · x.
i=1