Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

60 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
Sea an0 un elemento cualquiera de B. Como B no tiene mínimo contiene
infinitos términos de la sucesión bajo an0, pero sólo un número finito de ellos
tienen índice anterior a n0, luego existe un an1 en B tal que an1 an2 >an3 >an4 >an5 >...
Como en R toda sucesión monótona converge a su supremo o a su ínfimo,
esto prueba que en este espacio toda sucesión contiene una subsucesión convergente,
al igual que ocurre en los espacios finitos. Cualquier intervalo [a, b] es
homeomorfo a R, luego también cumple esto mismo.
Por otro lado esto es falso en R. La sucesión de los números naturales no contiene
ninguna subsucesión convergente (ya que cualquier subsucesión converge
a+∞ en R, luego no converge en R).
El espacio R y los intervalos [a, b] son ejemplos de espacios compactos. La
propiedad de las subsucesiones convergentes caracteriza la compacidad en espacios
métricos, pero para el caso general necesitamos otra definición más elaborada.
Definición 2.2 Sea X un espacio topológico. Un cubrimiento abierto de X es
una familia {Ai}i∈I de abiertos de X tal que X =
Ai.
Un subcubrimiento del cubrimiento dado es un cubrimiento formado por
parte de los abiertos del primero.
Un espacio de Hausdorff K es compacto si de todo cubrimiento abierto de
K se puede extraer un subcubrimiento finito.
Es obvio que si X es un espacio finito, de todo cubrimiento abierto se puede
extraer un subcubrimiento finito. Basta tomar un abierto que contenga a cada
uno de los puntos del espacio. Así pues, todo espacio de Hausdorff finito es
compacto.
Observar que si B es una base de un espacio de Hausdorff K, se cumple que
K es compacto si y sólo si todo cubrimiento de K por abiertos básicos admite
un subcubrimiento finito. En efecto, si {Ai}i∈I es un cubrimiento arbitrario,
para cada punto x ∈ K existe un ix ∈ I tal que x ∈ Aix y existe un Bx ∈ B
tal que x ∈ Bx ⊂ Aix. Entonces {Bx}x∈K es un cubrimiento de K formado por
abiertos básicos y tiene un subcubrimiento finito
K = Bx1 ∪···∪Bxn ⊂ Aix ∪···∪Aixn ⊂ K.
1
Una familia de abiertos forma un cubrimiento si y sólo si la familia de sus
complementarios es una familia de cerrados con intersección vacía. Por ello la
compacidad puede caracterizarse así entérminos de familias de cerrados:
Un espacio de Hausdorff K es compacto si y sólo si toda familia de cerrados
{Ci}i∈I con la propiedad de que cualquier intersección finita de ellos no es vacía,
tiene intersección total no vacía.
i∈I