Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12.2. Funciones holomorfas 425
Demostración: Sea f :Ω−→ R una función harmónica. Hemos de probar
que existe una función g :Ω−→ R de modo que f + ig sea holomorfa, es decir,
que sea de clase C 1 y cumpla
∂g
= −∂f
∂x ∂y ,
∂g ∂f
=
∂y ∂x .
La existencia de g se sigue inmediatamente del teorema 11.15.
Si dos funciones harmónicas f y g cumplen que f + ig es una función holomorfa
se dice que son funciones harmónicas conjugadas. Es fácil ver que se trata
de una relación simétrica y que dos conjugadas de una misma función se diferencian
en una constante. El teorema anterior prueba que toda función harmónica
en un abierto en C de cohomología trivial tiene una función harmónica conjugada.
Vamos a necesitar algunos hechos elementales sobre integración de funciones
complejas. Supongamos que C ⊂ C es una 1-variedad orientable (de hecho,
toda 1-variedad es orientable). Si ω es una 1-forma compleja en C, diremos que
es integrable si lo son Re ω eImω, y en tal caso definimos su integral como
ω = Re ω + i Im ω.
C
C
Es fácil ver que la integral así definida es C-lineal. Diremos que una función
f : C −→ C es integrable si lo es la 1-forma f(z) dz, en cuyo caso definimos la
integral de f como la de dicha forma.
Antes hemos comprobado que si f es una función holomorfa en un abierto
Ω, entonces d(f dz) = 0, luego aplicando el teorema de Stokes a la parte real y
a la parte imaginaria de la integral obtenemos el teorema siguiente:
Teorema 12.13 Sea Ω un abierto acotado en C tal que Ω sea una 2-variedad
con frontera. Sea f una función holomorfa definida en un abierto que contenga
a Ω. Entonces
f(z) dz =0.
∂Ω
De aquí se desprenden propiedades muy importantes de las funciones holomorfas.
Para obtenerlas necesitamos algunos hechos básicos sobre integrales de
funciones complejas. Ante todo, a efectos de cálculo es conveniente transformar
las integrales sobre 1-variedades en integrales sobre arcos. Supongamos que
γ :[a, b] −→ C es una aplicación de clase C1 (en el sentido de que se extiende a
una aplicación de clase C1 sobre un intervalo que contiene a [a, b])ydemodo
que su restriccióna]a, b[ sea una carta de la 1-variedad C ⊂ C que cubra todos
sus puntos salvo a lo sumo un número finito de ellos. 1 Entonces es fácil ver que
b
f(z) dz = f(γ(t))γ ′ (t) dt,
C
a
1 Todas las integrales sobre una 1-variedad se pueden reducir en la práctica a integrales
sobre variedades en estas condiciones. El caso típico es γ(t) =z0 + re it , con t ∈ [0, 2π], que
cubre a toda la circunferencia de centro z0 y radio r menos un punto.
C