Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.5. La medida de Lebesgue 281
También es fácil comprobar que cuando k →∞el volumen de Ek tiende al
de W , luego
gr dm = Vol (W ).
lím n T (gk) =lím n
X
Por otro lado, {gk} ∞ k=1 es una sucesión creciente que converge puntualmente
a χW , luego según el teorema de la convergencia monótona el límite anterior es
también m(W ).
Una celda cerrada se expresa como intersección decreciente de celdas abiertas,
luego las propiedades elementales de las medidas nos dan que m también
asigna su volumen a cada celda cerrada. Puesto que m toma el mismo valor en
una celda abierta que en su clausura, lo mismo vale para cualquier tipo de celda
que esté comprendida entre ambas.
La unicidad es clara: dos medidas de Borel que asignen a cada celda su
volumen toman valores finitos sobre los compactos (pues todo compacto está
contenido en una celda), luego por el teorema 7.29 ambas son regulares. Puesto
que todo abierto es unión numerable de cubos disjuntos (teorema 7.32), ambas
medidas coinciden sobre los abiertos y por regularidad coinciden sobre cualquier
conjunto de Borel.
Definición 7.34 La medida de Lebesgue en R n es la compleción de la única
medida de Borel que a cada celda le asigna su volumen. La representaremos
por m.
La medida de Lebesgue se corresponde con el concepto geométrico de área y
volumen en el caso de R 2 y R 3 . En efecto, todas las figuras planas que aparecen
en geometría (polígonos, elipses, etc.) tienen una frontera sin área, por lo que
a efectos de calcular su área podemos considerar indistintamente su interior o
su clausura. Si trabajamos con su interior, sabemos que puede expresarse como
unión numerable de cubos disjuntos, por lo que el área debe ser la suma de las
áreas de estos cubos, que es precisamente el valor de la medida de Lebesgue.
Lo mismo vale para figuras tridimensionales. Es importante notar que todos los
argumentos clásicos para el cálculo de áreas de figuras curvilíneas presuponen
de un modo u otro este principio de que el área se puede calcular a partir de
descomposiciones infinitas numerables.
Veamos ahora como se comporta la medida de Lebesgue frente a transformaciones
afines.
Teorema 7.35 Sea m la medida de Lebesgue en R n . Entonces:
a) m es invariante por traslaciones, es decir, si x ∈ R n y A ⊂ R n es medible,
entonces x + A es medible y m(x + A) =m(A).
b) Si f : R n −→ R n es una aplicación lineal de determinante ∆ y A ⊂ R n es
medible, entonces f[A] es medible y m f[A] = |∆|m(A).