Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

462 Capítulo 13. Aplicaciones al electromagnetismo
Ecuación homogénea tridimensional A continuación nos ocupamos del
problema
⎫
∂ 2 u
∂t 2 = v2 ∆u
u(x, 0) = φ(x)
∂u
(x, 0) = ψ(x)
∂t
donde ahora x ∈ R 3 . Es natural conjeturar que una solución de esta ecuación
vendrá dada por una fórmula que generalice de algún modo a (13.16). El primer
término de (13.16) es la media de los valores iniciales de u en los puntos x ± vt,
por lo que es razonable conjeturar que en el caso tridimensional aparecerá la
media del estado inicial de u sobre la esfera de centro x y radio vt. Por ello
conviene introducir la media esférica de una función u : R 3 −→ R como la
función
M(u)(x, r) = 1
4πr 2
y−x=r
⎪⎬
⎪⎭
u(y) dσ(y) = 1
u(x + rξ) dσ(ξ),
4π ξ=1
donde σ representa la medida de Lebesgue en la esfera de radio r en la primera
integral y en la esfera de radio 1 en la segunda.
Para justificar el cambio de variable consideramos la aplicación f(ξ) =x+rξ
y observamos que el plano tangente a la esfera de centro x y radio r en un punto
x+rξ coincide con el plano tangente a la esfera de centro 0 y radio 1 en el punto
ξ, y para todo par de vectores u, v en dicho plano.
f ♯ (dσr)(ξ)(u, v) =dσr(x + rξ)(ru, rv) =r 2 dσr(x + rξ)(u, v) =r 2 dσ1(ξ)(u, v),
pues dσr(x + rξ)(u, v) ydσ1(ξ)(u, v) son ambos el área del paralelogramo de
lados u y v. Por consiguiente f ♯ (dσr) =r 2 dσ1 y basta aplicar el teorema 9.22.
Observemos que la segunda integral en la definición de M(u) está definida
para todo valor de r, no necesariamente positivo. De hecho es fácil ver que
M(u)(x, r) =M(u)(x, −r). Además M(u)(x, 0) = f(x).
La primera integral conecta directamente con el problema que estamos estudiando,
pero la segunda es más fácil de manejar. Por ejemplo, nos permite
calcular la derivada
∂
1
M(u)(x, r) = ∇u(x + rξ)ξdσ(ξ).
∂r 4π
ξ=1
Notemos que ξ coincide con el vector normal unitario a la esfera en el punto
ξ, luego la última integral es el flujo del campo ∇u(x + rξ). Podemos aplicar el
teorema de la divergencia y resulta:
∂
r
M(u)(x, r) =
∂r 4π
=
1
4πr 2
ξ