Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.1. Medidas positivas 257
La extensión construida en el teorema anterior se conoce como compleción
de µ. En vista de esto, normalmente podremos suponer sin pérdida de generalidad
que trabajamos con medidas completas. Otra propiedad importante que
puede poseer una medida sobre un espacio topológico es la regularidad, que
definimos a continuación.
Definición 7.4 Diremos que una medida µ en un espacio topológico X es regular
si todos los abiertos son medibles, los subespacios compactos tienen medida
finita y para todo conjunto medible E se cumple
y
µ(E) =ínf{µ(V ) | E ⊂ V, V abierto}
µ(E) = sup{µ(K) | K ⊂ E, K compacto}.
Diremos que la medida es casi regular si la segunda propiedad se cumple al
menos cuando µ(E) < +∞ y cuando E es abierto.
En definitiva una medida es regular si la medida de todo conjunto medible
puede aproximarse por la medida de un abierto mayor y de un compacto menor.
El concepto de medida casi regular lo introducimos por cuestiones técnicas, pero
a continuación probamos que en todos los espacios que nos van a interesar es
equivalente a la regularidad.
Diremos que un espacio topológico es σ-compacto si es unión numerable de
conjuntos compactos. Por ejemplo, todo abierto Ω en R n es σ-compacto, pues
puede expresarse como unión de los compactos
Ωn = {x ∈ Ω |x ≤n, d(x, R n \ Ω) ≥ 1/n}, n =1, 2, 3,...
Teorema 7.5 Toda medida casi regular en un un espacio σ-compacto es regular.
Demostración: Supongamos que X es la unión de los compactos {Kn} ∞ n=1.
Sustituyendo cada Kn por su unión con los precedentes podemos suponer que si
m ≤ n entonces Km ⊂ Kn. Dado un conjunto de Borel B tal que µ(B) =+∞,
tenemos que
∞
B = B ∩ Kn,
n=1
y como la unión es creciente sup µ(B ∩ Kn) =µ(B) =+∞. Dado R>0 existe
n
un n tal que µ(B ∩ Kn) >R+ 1 y, como µ es casi regular, B ∩ Kn tiene medida
finita y existe un compacto K ⊂ B ∩ Kn tal que µ(K) >R, lo que prueba que
µ es regular.
Ejercicio: Probar que la compleción de una medida regular es una medida regular.