Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

338 Capítulo 9. Formas diferenciales
En el caso en que E es un espacio tangente Tp(S) y la base fijada es la
asociada a una carta X, el teorema 9.2 prueba de hecho que
dm(p) =∆X(p) dx1(p) ∧···∧dxn(p). (9.3)
En efecto, basta observar que ∆X(p) es la medida de la imagen por dX(x)
del paralelepípedo asociado a la base canónica, es decir, del paralelepípedo
(D1X(x),...,DnX(x)) que hemos tomado como base en Tp(S).
Ahora nos encontramos con un inconveniente: nos gustaría definir el elemento
de medida de una variedad S como la forma diferencial dm que a cada
punto p le asigna la medida orientada de Tp(S). Sin embargo esto es ambiguo,
pues en Tp(S) hay dos medidas orientadas —de signo opuesto— correspondientes
a las dos orientaciones posibles del espacio. Más exactamente, si consideramos
la expresión (9.3) para dos cartas distintas X e Y alrededor de un punto p,
las formas dm(p) correspondientes pueden ser iguales u opuestas según lo sean
las orientaciones de las bases de Tp(S) asociadas a las cartas. En otras palabras,
depende de si dX(x) ydY (y) transforman la base canónica de R n en bases con
la misma orientación, y es fácil ver que esto equivale a que d(X ◦ Y −1 )(x) conserve
la orientación, es decir, a que el determinante jacobiano de X ◦ Y −1 sea
positivo en x.
Definición 9.14 Un atlas de una variedad S es un conjunto de cartas que
cubran todos los puntos de S. Unatlas orientado es un atlas de S tal que si X e
Y son dos de sus cartas y ambas cubren a un punto p, entonces el determinante
jacobiano de X ◦ Y −1 es positivo. Una variedad S es orientable si admite un
atlas orientado.
De este modo, si fijamos un atlas orientado en una variedad S y tomamos
p ∈ Tp(S), todas las bases de Tp(S) inducidas por cartas del atlas tienen la
misma orientación, a la que llamaremos orientación positiva de Tp(S). En lo
sucesivo, cuando hablemos de una variedad orientable se sobrentenderá que en
ella hemos seleccionado un atlas orientado y por consiguiente una orientación
positiva en cada espacio tangente.
Ejemplo Toda variedad cubrible por una sola carta es orientable, considerando
el atlas formado únicamente por dicha carta. En particular todo abierto
de R n es una variedad orientable, tomando como carta la identidad. En lo sucesivo
consideraremos siempre esta orientación en los abiertos de R n ,demodo
que la base canónica será una base orientada de cada espacio tangente.
Teorema 9.15 Sea S una variedad orientable y X una carta de S con imagen
conexa. Entonces, o bien las bases asociadas a X son todas positivas o bien son
todas negativas. Según el caso diremos que la carta es positiva o negativa.
Demostración: Sea U el dominio de X. Observamos que el conjunto de
los puntos x ∈ U tales que la orientación de la base de T X(x)(S) es positiva es