Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

466 Capítulo 13. Aplicaciones al electromagnetismo
El caso bidimensional Aunque la ecuación de ondas bidimensional no nos
va a hacer falta en las consideraciones posteriores sobre el electromagnetismo, lo
cierto es que los cálculos de la sección anterior nos permiten resolverla rápidamente,
y la ecuación tiene interés en sí misma. Sus soluciones describen las
vibraciones de una membrana, o las vibraciones de la superficie del agua provocadas
por la caída de un objeto. Para resolver el problema
∂2 2 u ∂ u
= v2
∂t2 ∂x2 + ∂2u ∂y2 ⎫
⎪⎬
u(x, y, 0) = φ(x, y)
∂u
(x, y, 0) = ψ(x, y)
⎪⎭
∂t
basta notar que si u es una solución entonces la función u(x, y, z, t) =u(x, y, t)es
solución del problema tridimensional determinado por las condiciones iniciales
φ(x, y, z) =φ(x, y), ψ(x, y, z) =ψ(x, y) —lo que prueba la unicidad— así como
que una solución cualquiera u del problema tridimensional (con las condiciones
iniciales φ y ψ) no depende de la variable z (pues la función , u(x, y, z + k, t)
es solución del mismo problema), luego determina una solución u(x, y, t) =
u(x, y, 0,t) del problema bidimensional.
Para trabajar con la fórmula (13.18) conviene cambiar la notación a x =
(x1,x2,x3) identificando los puntos de R2 con los de la forma (x1,x2, 0). Entonces
u(x1,x2,t)= ∂
1
∂t 4πv2
φ(y) dσ(y) +
t y−x=vt
1
4πv2
ψ(y) dσ(y)
t y−x=vt
Puesto que φ(y1,y2,y3) =φ(y1,y2, −y3), la primera integral es el doble de
la integral restringida a la semiesfera y3 > 0. Lo mismo se aplica a la segunda
integral. Una carta de dicha semiesfera es
X(y1,y2) = v2t2 − (y1 − x1) 2 − (y2 − x2) 2 = v2t2 −x− y2 ,
donde en la última expresión consideramos x, y ∈ R2 . Para esta carta
luego
dσ =
u(x, t) = ∂
1
∂t 2πv
1
+
2πv
vt
v 2 t 2 −x − y 2 dy1dy2,
y−x