Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

264 Capítulo 7. Teoría de la medida
d) Si f ≥ 0 es una función medible en X y µ(E) =0, entonces
E fdµ=0
(aunque sea f|E =+∞).
El resultado siguiente es uno de los más importantes del cálculo integral:
Teorema 7.15 (de la convergencia monótona de Lebesgue) Sea X un
espacio medida y {fn} ∞ n=1 una sucesión de funciones medibles en X tal que
0 ≤ f1 ≤ f2 ≤···≤f y f =lím n fn.
Entonces f es medible y
fdµ=lím fn dµ.
X
n
X
Demostración: Por el teorema anterior
X fn dµ ≤
X fn+1 dµ. Toda
sucesiónmonótona creciente en [0, +∞] converge a su supremo, luego existe
α =lím
n X fn dµ ∈ [0, +∞].
Sabemos que f es medible por ser límite puntual de funciones medibles. De
nuevo por el teorema anterior
X fn dµ ≤
fdµ, luego α ≤ X X fdµ.
Sea s una función simple s ≤ f y sea 0