Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

336 Capítulo 9. Formas diferenciales
Teorema 9.12 Sea E un espacio vectorial de dimensión n ysean(v1,...,vn),
(v ′ 1,...,v ′ n) dos bases de E. Sean (dx1,...,dxn) y (dx ′ 1,...,dx ′ n) sus bases
duales respectivas. Sea A la matriz de cambio de base (es decir, la matriz cuyas
filas son las coordenadas de los vectores vi en la segunda base). Entonces
dx ′ 1 ∧···∧dx ′ n = det Adx1 ∧···∧dxn.
Demostración: Sea A =(aij). Entonces vi = ai1v ′ 1 +···+ainv ′ n, de donde
dx ′ j (vi) =aij. Por el teorema 9.10 tenemos que
(dx ′ 1 ∧···∧dx ′ n)(v1,...,vn) = det dx ′ j(vi) = det A (dx1 ∧···∧dxn)(v1,...,vn).
Esto implica que ambas formas son iguales.
9.3 El álgebra de Grassmann
En la sección anterior hemos estudiado las formas diferenciales en un espacio
vectorial. Ahora pasamos a definir formas sobre variedades diferenciables. La
relación entre unas y otras es la misma que la que hay entre vectores y campos
vectoriales, sólo que a los “campos de formas” se les llama simplemente
“formas”:
Definición 9.13 Sea S una variedad diferenciable. Una k-forma diferencial en
S es una aplicación ω que a cada p ∈ S le asigna una k-forma ω(p) ∈ A k Tp(S) .
Observar que una 0-forma es simplemente una función f : S −→ R.
Si X : U −→ V ⊂ S es una carta de S y p ∈ V , entonces una base de
AkTp(S) está formada por las formas
dxi1(p) ∧···∧dxik (p), con 1 ≤ i1 < ···