Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

232 Capítulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Toda la teoría se aplica igualmente al caso de sistemas de ecuaciones diferenciales.
De hecho un sistema de ecuaciones puede verse como una única ecuación
vectorial. Basta considerar que y : I −→ Rn y f : D ⊂ Rn+1 −→ Rn .
Son muchas las ocasiones en las que el único conocimiento que tenemos de
una o varias funciones es el hecho de que satisfacen un sistema de ecuaciones
diferenciales. Por ejemplo, las ecuaciones (5.10) del capítulo anterior son un
sistema de ecuaciones de segundo orden que determinan cuándo una curva x(s)
representa a una geodésica de una variedad en una carta dada. Los resultados
que probaremos en este capítulo nos asegurarán en particular la existencia de
geodésicas. De momento no tenemos garantizada la existencia de solución ni en
el caso más simple: y ′ = f(x). Éste es el primer punto que hemos de estudiar,
lo que nos lleva a profundizar un poco más en el cálculo integral.
6.1 La integral de Riemann
Recordemos que hemos definido la expresión
b
a
f(x) dx
como F (b) − F (a), donde F es una primitiva de f, pero la interpretación
geométrica era el número que resulta de dividir el intervalo [a, b] en intervalos
infinitesimales de longitud dx y sumar los incrementos infinitesimales f(x) dx.
Vamos a dar rigor a esta idea, lo que nos llevará a una construcción de la integral
que no postule la existencia de la primitiva.
La técnica será, por supuesto, sustituir la división en infinitos intervalos infinitesimales
por particiones en intervalos de longitud arbitrariamente pequeña.
Puede probarse que no importa cómo escojamos estas particiones, por lo que
trabajaremos concretamente con intervalos de longitud 2 −n .
Para cada número natural n sea Pn = {2 −n k | k ∈ Z}. Para cada x ∈ Pn
sea x ′ n = x +2 −n . De este modo, la recta real se divide en una unión disjunta
de intervalos de longitud 2 −n
R =
x∈Pn
[x, x ′ n[ .
Llamaremos F al conjunto de todas las funciones f : R −→ R tales que el
conjunto {x ∈ R | f(x) = 0} está acotado. Para cada f ∈ F definimos
Sn(f) =
f(x)2 −n .
x∈Pn
Notar que f se anula en todos los puntos de Pn salvo a lo sumo en un
número finito de ellos, luego la suma anterior es en realidad una suma finita.
La suma Sn(f) es la aproximación de la integral de f que resulta de aproximar
el incremento infinitesimal dx por el incremento finito 2 −n .