Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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440 Capítulo 12. Funciones Harmónicas Ahora observamos que si el problema de Dirichlet tiene solución para f y Ω, entonces la solución ha de ser Pf . En efecto, la solución g está obviamente en P (f,Ω), luego g ≤ Pf . Por otra parte, si u ∈ P (f,Ω) la función u − g es subharmónica y en ∂Ω es≤ 0, luego por el principio del máximo se cumple u − g ≤ 0 en Ω, o sea, u ≤ g, luego Pf ≤ g. Para probar que Pf es realmente solución del problema de Dirichlet hemos de ver dos cosas: que es harmónica y que tiende a f en ∂Ω. Lo primero podemos probarlo ya: Teorema 12.30 Sea Ω un abierto en R n tal que ∂Ω = ∅. Sea f : ∂Ω −→ R una función continua y acotada. Entonces Pf es harmónica en Ω. Demostración: Tomemos x0 ∈ Ω y sea r>0 tal que Br(x0) ⊂ Ω. Podemos tomar una sucesión de funciones un ∈ P (f,Ω) tales que lím n un(x0) = Pf (x0). Sustituyendo cada un por el máximo de todas las anteriores podemos suponer que un es creciente. Más aún, aplicando el teorema 12.29 obtenemos funciones vn ∈ P (f,Ω) que son harmónicas en Br(x0). La sucesión vn también es creciente y, como un(x0) ≤ vn(x0) ≤ Pf (x0), la sucesión vn(x0) también converge a Pf (x0). Veamos que vn converge uniformemente en un entorno de x0. Esto probará que Pf es harmónica en un entorno de x0. Sea 0
12.4. El problema de Dirichlet 441 converge uniformemente en Bk(x0), pero dicha serie no es sino la sucesión vn. En general no es cierto que Pf coincida con f en ∂Ω. Por ejemplo, tomemos Ω=B1(0) \{(0, 0)} ⊂R 2 y sea f la función que vale 0 en ∂B1(0) y f(0) = 1. Tomemos u ∈ P (f,Ω). Por el principio del máximo se cumple que u ≤1. Dado 0 0, restringimos a Ωɛ(a) la función −h que hemos construido en el párrafo anterior). Las regiones de Dirichlet admiten la caracterización siguiente: Teorema 12.32 Un abierto Ω ⊂ R n de frontera no vacía es una región de Dirichlet si y sólo si tiene una barrera en cada punto de su frontera.
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1.4. Algunos conceptos topológicos
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1.8. Sucesiones y series numéricas
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