Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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vi ÍNDICE GENERAL Capítulo IV: Cálculo diferencial de varias variables 157 4.1 Diferenciación.............................157 4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 164 4.3 Curvas parametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Capítulo V: Introducción a las variedades diferenciables 195 5.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.3 La métrica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.4 Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.5 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.6La curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Capítulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias 231 6.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 238 6.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . 246 Capítulo VII: Teoría de la medida 253 7.1 Medidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.2 Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.3 La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 7.4 El teorema de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.5 La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Capítulo VIII: Teoría de la medida II 287 8.1 Producto de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.2 Espacios L p ..............................295 8.3 Medidas signadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.4 Derivación de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Capítulo IX: Formas diferenciales 321 9.1 Integración en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.2 El álgebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 9.3 El álgebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 9.4 Algunos conceptos del cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 348 Capítulo X: El teorema de Stokes 357 10.1 Variedades con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 10.2 La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 10.3 El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 10.4 Aplicaciones del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 10.5 Las fórmulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 10.6El teorema de Stokes con singularidades . . . . . . . . . . . . . . 388 10.7 Apéndice: Algunas fórmulas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . 393
ÍNDICE GENERAL vii Capítulo XI: Cohomología de De Rham 397 11.1 Grupos de cohomología .......................397 11.2 Homotopías..............................400 11.3 Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 11.4 Aplicaciones al cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Capítulo XII: Funciones Harmónicas 417 12.1 El problema de Dirichlet sobre una bola . . . . . . . . . . . . . . 418 12.2 Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 12.3 Funciones subharmónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 12.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 Capítulo XIII: Aplicaciones al electromagnetismo 445 13.1 Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 13.2 Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 13.3 Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 13.4 La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 13.5 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 468 Bibliografía 475 Índice de Materias 476
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ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
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