Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

8 Capítulo 1. Topología
Ejemplo Es fácil definir una distancia en Kn que induzca una topología distinta
de la usual. De hecho, si X es un conjunto cualquiera podemos considerar
la distancia d : X × X −→ R dada por
1 si x = y,
d(x, y) =
0 si x = y
Es fácil ver que efectivamente es una distancia y para todo punto x se cumple
que B1(x) ={x}, luego {x} es un entorno de x, luego es un abierto y, como
toda unión de abiertos es abierta, de hecho todo subconjunto de X es abierto.
La métrica d recibe el nombre de métrica discreta y la topología que induce es
la topología discreta. Un espacio topológico cuya topología sea la discreta es un
espacio discreto.
En un espacio discreto un punto no tiene más punto a su alrededor que él
mismo. Esta topología es la más adecuada para conjuntos como N o Z, pues,
efectivamente, un número entero no tiene alrededor a ningún otro.
Las bolas abiertas de un espacio métrico son abiertas. Esto es fácil de ver
intuitivamente, pero el mero hecho de que las hayamos llamado así no justifica
que lo sean:
Teorema 1.11 Las bolas abiertas de un espacio métrico son conjuntos abiertos.
Demostración: Sea Bɛ(x) una bola abierta y sea y ∈ Bɛ(x). Entonces
d(x, y)