Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.6. Series de potencias 123
Teorema 3.24 Si A es un intervalo abierto, a ∈ A, f ∈ C∞ (A) y las derivadas
de f están uniformemente acotadas en A, entonces para cada punto x ∈ A se
cumple
∞ f
f(x) =
n) (a)
(x − a)
n!
n .
n=0
Este teorema no es aplicable a √ x. En muchos casos, entre ellos el de
esta función, los problemas de convergencia de las series de Taylor se vuelven
evidentes en el contexto de la teoría de funciones de variable compleja (ver el
capítulo XII). Los resultados de la sección siguiente resultan de gran ayuda en
muchos casos, como tendremos ocasión de comprobar más adelante.
3.6 Series de potencias
Definición 3.25 Sea a ∈ C y {an} ∞ n=0 una sucesión en C. Laserie de potencias
de coeficientes {an} ∞ n=0 y centro a es la serie funcional
∞
an(z − a) n .
n=0
Las series de Taylor son, pues, series de potencias. En muchos casos es
fácil determinar en qué puntos converge una serie de potencias. Para verlo
necesitamos el concepto de límite superior de una sucesión de números reales.
Se trata de lo siguiente:
Sea {an} ∞ n=0 una sucesión de números reales. Su límite superior es el supremo
(en R) del conjunto de sus puntos adherentes. Lo representaremos mediante
lím an.
n
Se cumple que
lím an =ínf sup
n k≥0 n≥k
En efecto, sea p un punto adherente de {an} ∞ n=0. Dados ɛ>0yk ≥ 0, existe
un n ≥ k tal que an ∈ ]p − ɛ, p + ɛ[, luego p − ɛ ≤ sup an. Esto vale para todo
n≥k
ɛ>0, luego p ≤ sup an para todo k ≥ 0, luego p ≤ ínf sup an. Como el límite
n≥k
k≥0 n≥k
superior es el supremo de estos p, tenemos que lím an ≤ ínf sup an.
n
an.
k≥0 n≥k
Sea L =ínf sup an. Dado ɛ>0, existe un k ≥ 0 tal que L ≤ sup an ≤ L + ɛ.
k≥0 n≥k
n≥k
Si L = sup an, entonces existe un n ≥ k tal que L − ɛ