Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.6. Límites de funciones 41
es un homeomorfismo entre S \{N} y dicha bola. Más aún, si componemos
la inversa de la proyección estereográfica con esta aplicación obtenemos un homeomorfismo
entre R2 y el disco abierto. Es fácil ver que la composición es
2x
t(x, y) =
x2 + y2 x2 + y2 +1 , 2y x2 + y2 x2 + y2
.
+1
Si quitamos los doses obtenemos un homeomorfismo t : R2 −→ D, donde D
es la bola abierta (euclídea) de centro 0 y radio 1. Concretamente:
x
t(x, y) =
x2 + y2 x2 + y2 +1 , y x2 + y2 x2 + y2
.
+1
Si restringimos esta aplicación a R, es decir, a los puntos (x, 0) obtenemos
un homeomorfismo entre R y el intervalo ]−1, 1[. Concretamente
t(x) = x|x|
x2 +1 .
He aquí su gráfica:
0.75
0.5
0.25
-2 -1
-0.25
-0.5
-0.75
1 2
Si lo restringimos a ]0, +∞[ obtenemos un homeomorfismo entre este intervalo
y ]0, 1[. A saber:
t(x) = x2
x2 +1 .
A partir de aquíesfácil ver que dos intervalos abiertos cualesquiera (acotados
o no) son homeomorfos.
Límites infinitos Consideremos ahora límites de funciones con valores en
R = R ∪ {−∞, +∞} oenC ∞ = C ∪ {∞}. Recordando que los entornos básicos
de +∞ son los intervalos ]M,+∞], es claro que
lím f(x) =+∞
x→a
significa que para todo M>0 existe un entorno U de a tal que si x ∈ U, x = a
está en el dominio de f, entonces f(x) >M. Similarmente ocurre con −∞.
Que el límite valga ∞ significa que para todo M>0 existe un entorno U de a
tal que si x ∈ U, x = a está en el dominio de f, entonces |f(x)| >M.
Es fácil probar que los teoremas del estilo de “el límite de la suma es la suma
de los límites” etc. valen también en los casos siguientes:
+∞ +(+∞) =+∞, −∞ +(−∞) =−∞,