Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

66 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
Ejemplo Una circunferencia es homeomorfa a un cuadrado.
En efecto, si C es un cuadrado de centro (0, 0) en R 2 , es claro que la aplicación
de C en la circunferencia unidad dada por x ↦→ x/x es biyectiva y
continua y, como C es compacto, es un homeomorfismo.
*Ejemplo Los espacios proyectivos son compactos.
En efecto, basta probar que P n (K) es compacto, pero la restricción de la
proyección a la esfera unidad de K n+1 es continua y suprayectiva y la esfera es
compacta.
Otro hecho obvio es que toda aplicación continua de un compacto a un
espacio métrico está acotada. Para las funciones reales podemos decir más:
Teorema 2.13 Si f : K −→ R es continua y K es un compacto no vacío,
existen u, v ∈ K tales que para todo x ∈ K, se cumple f(u) ≤ f(x) ≤ f(v). Es
decir, que f alcanza un valor mínimo y un valor máximo.
Demostración: Sea C = f[K]. Entonces C es cerrado y acotado. Sean m
y M su ínfimo y su supremo, respectivamente. Así para todo x ∈ K se cumple
que m ≤ f(x) ≤ M. Sólo falta probar que m y M son imágenes de puntos de
K, o sea, que m, M ∈ C. Veámoslo para M.
Si ɛ>0, entonces M − ɛ no es una cota superior de C, luego existe un punto
y ∈ C de modo que M − ɛ