Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.3. Curvas parametrizables 183
Su derivada es
T ′ (θ) =
l cos θ, l cos2
θ
, T
sen θ
′ cos θ
(θ) = −l
sen θ .
La tractriz es regular en ]π/2,π[. La longitud de un arco de tractriz es
θ
s(θ) =−l
π/2
cos t
sen t dt = −l [log sen t]θπ/2 = −l log sen θ.
Vector normal y curvatura Sea x(s) un arco parametrizado por la longitud
de arco. Supongamos que admite derivada segunda. Derivando la igualdad
x ′ (s)x ′ (s) = 1 obtenemos que 2x ′′ (s)x ′ (s) = 0, luego x ′′ (s) ⊥ x ′ (s). Supuesto
que x ′′ (s) = 0 podemos definir el vector normal del arco como
N(s) = x′′ (s)
x ′′ (s) ,
ylacurvatura del arco como κ(s) =x ′′ (s).
Para interpretar la curvatura llamemos ∆θ al ángulo entre los vectores x ′ (s)
y x ′ (s +∆s), donde ∆θ es una función de ∆s. Puesto que x ′ tiene módulo
constante igual a 1, la trigonometría nos da que
x ′ (s +∆s) − x ′ (s) = 2 sen ∆θ
2 .
Por consiguiente,
x ′ (s +∆s) − x ′ (s)
|∆s|
Es claro que ∆θ → 0 cuando ∆s → 0, luego
= sen ∆θ
2
∆θ/2
∆θ
κ(s) = lím
∆s→0 |∆s| .
∆θ
|∆s| .
2 sen(∆θ/2)
Así pues, la curvatura mide la variación del ángulo del vector tangente por
unidad de arco recorrido. Es claro que cuanto mayor sea la curvatura “más
curvado” estará el arco.
Ejemplo La parametrización natural de una circunferencia de radio r es
x(s) = r cos(s/r),rsen(s/r) . El vector tangente es, por lo tanto, x ′ (s) =
− sen(s/r), cos(s/r) . De aquí obtenemos
x ′′ (s) =
− 1
r
s
cos , −1
r r
s
sen ,
r