Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

166 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
pero df (a)(v)dg(a)(v) ≤df (a)dg(a)v 2 , luego la norma del cociente
está mayorada por
df (a)dg(a)v,
que tiende a 0.
Veamos ahora la versión en varias variables de la regla de la cadena.
Teorema 4.10 (Regla de la cadena) Consideremos f : A ⊂ R n −→ R m y
g : B ⊂ R m −→ R k de modo que f[A] ⊂ B. Si f es diferenciable en un punto
a ∈ A y g es diferenciable en f(a), entonces f ◦ g es diferenciable en a y
d(f ◦ g)(a) =df (a) ◦ dg f(a) .
Demostración: Llamemos h = f ◦ g y b = f(a). Dado un v ∈ R n tal que
a + v ∈ A, tenemos
h(a + v) − h(a) =g(f(a + v)) − g(f(a)) = g(b + u) − g(b),
donde u = f(a + v) − f(a). Consideremos las funciones
E(v) =
f(a + v) − f(a) − df (a)(v)
, F(u) =
v
definidas en un entorno de 0 y con límite 0. Se cumple
g(b + u) − g(b) − dg(b)(u)
,
u
h(a + v) − h(a) =dg(b)(u)+uF (u) =dg(b) df (a)(v)+vE(v) + uF (u)
=
Basta probar que
df (a) ◦ dg f(a)
(v)+v dg(b) E(v) + uF (u).
lím
v→0 dg(b)E(v) + u
F (u) =0,
v
para lo cual basta a su vez probar que la función u/v está acotada en un
entorno de 0. Ahora bien,
u
v =
df (a)(v)+vE(v)
≤df (a) + E(v),
v
y, como E tiende a 0 en 0, está acotada en un entorno de 0.
Como consecuencia, J(f ◦ g)(a) =Jf(a)Jg(f(a)).
Equivalentemente, supongamos que tenemos una función z = z(y1,...,ym),
donde a su vez yi = yi(x1,...,xn). Entonces la regla de la cadena nos dice que,
si las funciones son diferenciables,
∇z t (x1,...,xn) =Jy(x1,...,xn)∇z t (y1,...,ym),