Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

Recommendations

Info

270 Capítulo 7. Teoría de la medida 7.4 El teorema de Riesz Hasta ahora no tenemos ninguna medida de interés a la que aplicar los resultados que acabamos de exponer. La construcción de medidas es el punto más delicado de toda la teoría. Puesto que el proceso es complicado cualquiera que sea el camino que tomemos, seguiremos uno que nos proporcionará un teorema notable de la teoría de la medida, el teorema de representación de Riesz. Necesitamos unos preliminares topológicos sobre espacios localmente compactos. Definición 7.24 Un espacio (de Hausdorff) X es localmente compacto si todo punto de X tiene una base de entornos compactos. Así pues, si p es un punto de un espacio localmente compacto X y V es un entorno abierto de p, existe un entorno compacto K ⊂ V . Por definición de entorno existe un abierto W tal que p ∈ W ⊂ K ⊂ V y claramente W ⊂ K es un entorno compacto de p. En resumen, si X es localmente compacto, p ∈ X y V es un abierto tal que p ∈ V , existe otro abierto W con clausura compacta tal que p ∈ W ⊂ W ⊂ V . El teorema siguiente recoge un par de propiedades sencillas: Teorema 7.25 Sea X un espacio de Hausdorff. a) Si K ⊂ X es compacto y p ∈ X \ K, entonces existen abiertos disjuntos U y V tales que p ∈ U y K ⊂ V . b) Si X es localmente compacto, V es abierto en X y K ⊂ V es compacto, entonces existe un abierto W tal que K ⊂ W ⊂ W ⊂ V y W es compacto. Demostración: a) Por la propiedad de Hausdorff, para cada x ∈ K podemos encontrar abiertos disjuntos Ux y Vx tales que p ∈ Ux y x ∈ Vx. Entonces K está cubierto por los Vx, luego podemos tomar un subcubrimiento finito Vx1,...,Vxn. Basta tomar como U la intersección de los Uxi y como V la unión de los Vxi . b) Para cada x ∈ K existe un abierto Wx de clausura compacta tal que x ∈ Wx ⊂ W x ⊂ V . Los abiertos Wx cubren a K. Tomamos un subcubrimiento finito y llamamos W a la unión de sus miembros. Si X es un espacio localmente compacto y f : X −→ R, llamaremos soporte de f a la clausura del conjunto de puntos donde f toma el valor 0. Llamaremos Cc(X) al conjunto de las aplicaciones continuas f : X −→ R con soporte compacto. Es claro que se trata de un subespacio vectorial de C(X). Usaremos las notaciones K ≺ f y f ≺ V para indicar que f : X −→ [0, 1], f ∈ Cc(X), K es compacto, V es abierto, f toma el valor 1 en K y f toma el valor 0 en X \ V . Teorema 7.26 (Lema de Urysohn) Sea X un espacio localmente compacto, sea V un abierto y K ⊂ V compacto. Entonces existe f ∈ Cc(X) tal que K ≺ f ≺ V .
7.4. El teorema de Riesz 271 Demostración: Por el teorema anterior existe un abierto W0 de clausura compacta tal que K ⊂ W0 ⊂ W 0 ⊂ V . Sea W1 = X. Aplicamos de nuevo el teorema a W 0 ⊂ V , con lo que obtenemos un abierto W 1/2 de clausura compacta tal que K ⊂ W0 ⊂ W 0 ⊂ W 1/2 ⊂ W 1/2 ⊂ V ⊂ W1. Dos nuevas aplicaciones del mismo teorema nos dan K ⊂ W0 ⊂ W 0 ⊂ W 1/4 ⊂ W 1/4 ⊂ W 1/2 ⊂ W 1/2 ⊂ W 3/4 ⊂ W 3/4 ⊂ V ⊂ W1. Inductivamente vamos obteniendo una familia de abiertos {Wr}r∈R, donde R = {k/2i | i ∈ N, 0 ≤ k ≤ 2i }, de manera que si r
Page 1:
Carlos Ivorra Castillo ANÁLISIS MA
Page 5 and 6:
Índice General Introducción ix Ca
Page 7:
ÍNDICE GENERAL vii Capítulo XI: C
Page 10 and 11:
x Introducción donde hemos desprec
Page 12 and 13:
xii Introducción desde el primer m
Page 14 and 15:
xiv Introducción la medida de lo p
Page 17 and 18:
Capítulo I Topología La topologí
Page 19 and 20:
1.1. Espacios topológicos 3 Ejempl
Page 21 and 22:
1.1. Espacios topológicos 5 Defini
Page 23 and 24:
1.1. Espacios topológicos 7 hemos
Page 25 and 26:
1.2. Bases y subbases 9 las bolas a
Page 27 and 28:
1.3. Productos y subespacios 11 dic
Page 29 and 30:
1.3. Productos y subespacios 13 Bɛ
Page 31 and 32:
1.4. Algunos conceptos topológicos
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
1.5. Continuidad 21 Pedir que los p
Page 39 and 40:
1.5. Continuidad 23 Esto significa
Page 41 and 42:
1.5. Continuidad 25 Definición 1.5
Page 43 and 44:
1.5. Continuidad 27 Teorema 1.62 Se
Page 45 and 46:
1.5. Continuidad 29 El lector deber
Page 47 and 48:
1.5. Continuidad 31 Todos estos hec
Page 49 and 50:
1.5. Continuidad 33 Es evidente que
Page 51 and 52:
1.6. Límites de funciones 35 punto
Page 53 and 54:
1.6. Límites de funciones 37 Para
Page 55 and 56:
1.6. Límites de funciones 39 Ejemp
Page 57 and 58:
1.6. Límites de funciones 41 es un
Page 59 and 60:
1.7. Convergencia de sucesiones 43
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
1.8. Sucesiones y series numéricas
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73:
Page 76 and 77:
60 Capítulo 2. Compacidad, conexi
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90 and 91:
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 117 and 118:
Capítulo III Cálculo diferencial
Page 119 and 120:
3.1. Derivación 103 0.5 -2 -1 1 2
Page 121 and 122:
3.2. Cálculo de derivadas 105 Demo
Page 123 and 124:
3.2. Cálculo de derivadas 107 Dado
Page 125 and 126:
3.3. Propiedades de las funciones d
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
3.4. La diferencial de una función
Page 133 and 134:
3.4. La diferencial de una función
Page 135 and 136:
3.5. El teorema de Taylor 119 Ante
Page 137 and 138:
3.5. El teorema de Taylor 121 2 1.7
Page 139 and 140:
3.6. Series de potencias 123 Teorem
Page 141 and 142:
3.6. Series de potencias 125 Teorem
Page 143 and 144:
3.7. La función exponencial 127 la
Page 145 and 146:
3.7. La función exponencial 129 y
Page 147 and 148:
3.7. La función exponencial 131 Se
Page 149 and 150:
3.8. Las funciones trigonométricas
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
3.9. Primitivas 145 No estamos en c
Page 163 and 164:
3.9. Primitivas 147 Ejemplo Vamos a
Page 165 and 166:
3.10. Apéndice: La trascendencia d
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171:
Page 174 and 175:
158 Capítulo 4. Cálculo diferenci
Page 176 and 177:
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
Page 184 and 185:
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
Page 190 and 191:
Page 192 and 193:
Page 194 and 195:
Page 196 and 197:
Page 198 and 199:
Page 200 and 201:
Page 202 and 203:
Page 204 and 205:
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
Page 211 and 212:
Capítulo V Introducción a las var
Page 213 and 214:
5.1. Variedades 197 Ejemplo Todo ab
Page 215 and 216:
5.1. Variedades 199 (c − xA)B −
Page 217 and 218:
5.1. Variedades 201 (con lo que (x,
Page 219 and 220:
5.2. Espacios tangentes, diferencia
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
5.3. La métrica de una variedad 21
Page 229 and 230:
5.3. La métrica de una variedad 21
Page 231 and 232:
5.4. Geodésicas 215 *Ejemplo Obser
Page 233 and 234:
5.4. Geodésicas 217 Un hecho muy i
Page 235 and 236: 5.4. Geodésicas 219 Ejemplo En un
Page 237 and 238: 5.5. Superficies 221 vuelta complet
Page 239 and 240: 5.6. La curvatura de Gauss 223 Para
Page 241 and 242: 5.6. La curvatura de Gauss 225 o eq
Page 243 and 244: 5.6. La curvatura de Gauss 227 De e
Page 245: 5.6. La curvatura de Gauss 229 obte
Page 248 and 249: 232 Capítulo 6. Ecuaciones diferen
Page 270 and 271: 254 Capítulo 7. Teoría de la medi
Page 303 and 304: Capítulo VIII Teoría de la medida
Page 305 and 306: 8.1. Producto de medidas 289 Si P e
Page 307 and 308: 8.1. Producto de medidas 291 Teorem
Page 309 and 310: 8.1. Producto de medidas 293 está
Page 311 and 312: 8.2. Espacios L p 295 8.2 Espacios
Page 313 and 314: 8.2. Espacios L p 297 Definición 8
Page 315 and 316: 8.3. Medidas signadas 299 8.3 Medid
Page 317 and 318: 8.3. Medidas signadas 301 Sea ahora
Page 319 and 320: 8.3. Medidas signadas 303 Ejemplo S
Page 321 and 322: 8.3. Medidas signadas 305 integral
Page 323 and 324: 8.3. Medidas signadas 307 luego el
Page 325 and 326: 8.4. Derivación de medidas 309 Vea
Page 327 and 328: 8.4. Derivación de medidas 311 La
Page 329 and 330: 8.5. El teorema de cambio de variab
Page 335: 8.5. El teorema de cambio de variab
Page 338 and 339:
322 Capítulo 9. Formas diferencial
Page 340 and 341:
Page 342 and 343:
Page 344 and 345:
Page 346 and 347:
Page 348 and 349:
Page 350 and 351:
Page 352 and 353:
Page 354 and 355:
Page 356 and 357:
Page 358 and 359:
Page 360 and 361:
Page 362 and 363:
Page 364 and 365:
Page 366 and 367:
Page 368 and 369:
Page 370 and 371:
Page 372 and 373:
Page 374 and 375:
358 Capítulo 10. El teorema de Sto
Page 376 and 377:
Page 378 and 379:
Page 380 and 381:
Page 382 and 383:
Page 384 and 385:
Page 386 and 387:
Page 388 and 389:
Page 390 and 391:
Page 392 and 393:
Page 394 and 395:
Page 396 and 397:
Page 398 and 399:
Page 400 and 401:
Page 402 and 403:
Page 404 and 405:
Page 406 and 407:
Page 408 and 409:
Page 410 and 411:
Page 413 and 414:
Capítulo XI Cohomología de De Rha
Page 415 and 416:
11.1. Grupos de cohomología 399 Lo
Page 417 and 418:
11.2. Homotopías 401 Definición 1
Page 419 and 420:
11.2. Homotopías 403 El operador i
Page 421 and 422:
11.2. Homotopías 405 Es evidente q
Page 423 and 424:
11.3. Sucesiones exactas 407 Notemo
Page 425 and 426:
11.3. Sucesiones exactas 409 Supong
Page 427 and 428:
11.3. Sucesiones exactas 411 A part
Page 429 and 430:
11.4. Aplicaciones al cálculo vect
Page 431 and 432:
11.4. Aplicaciones al cálculo vect
Page 433 and 434:
Capítulo XII Funciones Harmónicas
Page 435 and 436:
12.1. El problema de Dirichlet sobr
Page 437 and 438:
12.2. Funciones holomorfas 421 Teor
Page 439 and 440:
12.2. Funciones holomorfas 423 En g
Page 441 and 442:
12.2. Funciones holomorfas 425 Demo
Page 443 and 444:
12.2. Funciones holomorfas 427 Ahor
Page 445 and 446:
12.2. Funciones holomorfas 429 Intr
Page 447 and 448:
12.2. Funciones holomorfas 431 = 1
Page 449 and 450:
12.2. Funciones holomorfas 433 ento
Page 451 and 452:
12.2. Funciones holomorfas 435 lueg
Page 453 and 454:
12.3. Funciones subharmónicas 437
Page 455 and 456:
12.4. El problema de Dirichlet 439
Page 457 and 458:
Page 459:
Page 462 and 463:
446 Capítulo 13. Aplicaciones al e
Page 464 and 465:
Page 466 and 467:
Page 468 and 469:
Page 470 and 471:
Page 472 and 473:
Page 474 and 475:
Page 476 and 477:
Page 478 and 479:
Page 480 and 481:
Page 482 and 483:
Page 484 and 485:
Page 486 and 487:
Page 488 and 489:
Page 491 and 492:
Bibliografía [1] Borden, R.S. A co
Page 493 and 494:
ÍNDICE DE MATERIAS 477 cubrimiento
Page 495 and 496:
ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
show all

Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?