Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.1. Espacios compactos 61
La propiedad de que las intersecciones finitas sean no vacías se llama propiedad
de la intersección finita. Por lo tanto:
Teorema 2.3 Un espacio de Hausdorff K es compacto si y sólo si toda familia
de cerrados de K con la propiedad de la intersección finita tiene intersección no
vacía.
A menudo nos encontraremos con espacios que no son compactos pero tienen
subespacios compactos. Por ello resulta útil caracterizar la compacidad de un
subespacio en términos de la topología de todo el espacio y no de la topología
relativa. Concretamente:
Teorema 2.4 Sea X un espacio de Hausdorff y K un subespacio de X. Entonces
K es compacto si y sólo si para toda familia {Ai}i∈I de abiertos (básicos)
de X tal que K ⊂
Ai se puede extraer una subfamilia finita que cumpla lo
mismo.
i∈I
Demostración: Supongamos que K es compacto. Entonces {Ai ∩ K}i∈I
es claramente un cubrimiento abierto de K, del que podemos extraer un subcubrimiento
finito de modo que
K =(Ai1 ∩ K) ∪···∪(Ain ∩ K),
luego K ⊂ Ai1 ∪···∪Ain .
Recíprocamente, si K cumple esta propiedad y {Ai}i∈I es un cubrimiento
abierto de K, entonces para cada i existe un abierto Bi de X tal que Ai =
Bi ∩ K. Consecuentemente K =
Ai ⊂
Bi, luego por hipótesis podemos
i∈I
tomar un número finito de conjuntos de modo que K ⊂ Bi1 ∪···∪Bin , luego
K =(Bi1 ∩ K) ∪···∪(Bin ∩ K) =Ai1 ∪···∪Ain. Asípues, K es compacto.
Si la unión de una familia de abiertos de un espacio X contiene a un subespacio
K, diremos que forma un cubrimiento abierto de K en X. Así pues, un
subespacio K de X es compacto si y sólo si de todo cubrimiento abierto de K
en X puede extraerse un subcubrimiento finito (en X también).
Aquí estamos considerando la topología de X, pero deberemos tener siempre
presente que la compacidad es una propiedad absoluta, y depende exclusivamente
de la topología del propio espacio K.
Los teoremas siguientes muestran la anunciada similitud entre los espacios
compactos y los espacios finitos. Por lo pronto, todo espacio finito es cerrado.
El análogo con compactos es el siguiente:
i∈I
Teorema 2.5 Se cumplen las propiedades siguientes:
a) Si X es un espacio de Hausdorff y K ⊂ X es compacto, entonces K es
cerrado en X.
b) Si K es un compacto y C ⊂ K es un cerrado, entonces C es compacto.