Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.4. Geodésicas 219
Ejemplo En un plano (tomando como carta la identidad) todos los símbolos
de Christoffel son nulos, por lo que las geodésicas parametrizadas por el arco
son las curvas que cumplen (u ′′ ,v ′′ )=(0, 0), es decir, las rectas.
Ejemplo En la superficie de revolución generada por la curva r(u),z(u) ,
suponiendo a ésta parametrizada por el arco, los únicos símbolos de Christoffel
no nulos son
Γ 2 12 = r′ (u)
r(u) , Γ122 = −r(u)r ′ (u).
Por lo tanto las ecuaciones de las geodésicas parametrizadas por el arco son
u ′′ = v ′2 r(u)r ′ (u), v ′′ = −2u ′ v ′ r′ (u)
r(u) .
Es inmediato comprobar que los meridianos (t, v0) cumplen estas ecuaciones,
luego son geodésicas. Si se cumple r ′ (u) = 0, (por ejemplo en los extremos
locales de r) entonces el paralelo (u0,t) también cumple las ecuaciones, luego es
una geodésica.
En el caso concreto de la esfera los meridianos son los arcos de circunferencia
de radio máximo que unen los polos. Dada la simetría de la esfera, que permite
tomar cualquier par de puntos antípodas como polos, podemos afirmar que
todas las circunferencias máximas son geodésicas. Para una carta dada, el único
paralelo (u0,t) que cumple r ′ (u0) = 0 es el ecuador de la esfera, que también es
una circunferencia máxima, luego ya sabíamos que es una geodésica.
*Ejemplo Las fórmulas que determinan los símbolos de Christoffel a partir de
los coeficientes del tensor métrico hacen que tenga sentido calcularlos en el caso
de los planos elíptico e hiperbólico, donde la definición de derivada covariante
que hemos dado no es aplicable. El hecho de que las circunferencias máximas de
una esfera sean geodésicas se traduce en que las rectas elípticas sean geodésicas
del plano elíptico (pues éste es localmente isométrico a una esfera de radio 1).
Veamos ahora que las rectas hiperbólicas son geodésicas del plano hiperbólico.
Para ello trabajaremos con el semiplano de Poincaré, donde los símbolos de
Christoffel son más sencillos. Teniendo en cuenta que E = G =1/v 2 y F =0
es fácil ver que los únicos símbolos no nulos son
Γ 2 11 = 1
v , Γ1 12 = − 1
v , Γ2 22 = − 1
v .
La aceleración covariante de una curva de coordenadas (u, v) tiene coordenadas
u ′′ − 2 u′ v ′
v ,v′′ + u′2 − v ′2
.
v
Para las rectas verticales (u, v) = (u0,t) la aceleración es (0, −1/t), que
efectivamente es proporcional a (u ′ ,v ′ )=(0, 1), luego son geodésicas. Las rectas