Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.3. El teorema de Stokes 369
de cada punto es Xx =(1, 0, 0), Xz =(0, 0, 1), y por consiguiente Xx ∧ Xz =
(0, −1, 0), que apunta hacia dentro del cubo, luego la carta es negativa y la
integral es
S1
fdx∧dz = − f(x, y0,z) dxdz,
y
C
y el signo corresponde con el que hemos establecido en la definición. En cambio,
si la integral es sobre la cara opuesta, ahora el vector (0, −1, 0) sí que apunta
hacia fuera del cubo, luego la carta es positiva y no hay que cambiar el signo,
tal y como indica la definición.
Mediante este tipo de razonamientos es posible justificar que la definición
que hemos dado hace que la integral sobre ∂S sea la correcta respecto a la
orientación de las caras inducida por la orientación usual del interior del cubo,
es decir, la que hace positiva una base de una cara si al añadirle como primer
vector uno que apunte hacia fuera del cubo obtenemos una base positiva de
Rn . De todos modos esto no es muy importante, pues sólo vamos a usar las
integrales sobre cubos como un paso previo a la prueba del teorema de Stokes
sobre variedades orientadas.
Ejercicio: Representar gráficamente la orientación de la frontera de un cuadrado
según la definición que hemos dado.
Si definimos la integral de una 0-forma sobre la frontera de un 1-cubo, es
decir, de una función f sobre los extremos de un intervalo S =[a, b], como
f = f(b) − f(a),
∂S
el teorema siguiente tiene sentido para n = 1 y entonces no es más que la regla
de Barrow:
Teorema 10.12 (Teorema de Stokes para un cubo) Sea S un n-cubo y ω
una n − 1-forma en S. Entonces
dω = ω.
S
Demostración: Según acabamos de comentar, el caso n = 1 es simplemente
la regla de Barrow. Supongamos, pues n>1. Por la linealidad de la
integral y de la diferencial es suficiente probar el teorema cuando la forma es
ω(x1,...,xn) =f(x1,...,xn) dx1 ∧···∧dxi−1 ∧ dxi+1 ∧···∧dxn.
Por definición la integral de ω es nula sobre todas las caras de S excepto S k i ,
para k =0, 1. Así pues,
ω es igual a
∂S
(−1) i
f(x1,...,ai,...,xn)−f(x1,...,bi,...,xn) dx1 ···dxi−1dxi+1 ···dxn,
C
∂S