Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.2. La diferencial exterior 365
= f2 df1 ∧ dxi1 ∧···∧dxik ∧ dxj1 ∧···∧dxjr
+f1 df2 ∧ dxi1 ∧···∧dxik ∧ dxj1 ∧···∧dxjr
= df1 ∧ dxi1 ∧···∧dxik ∧ f2 dxj1 ∧···∧dxjr
+(−1) k f1dxi1 ∧···∧dxik ∧ df2 ∧ dxj1 ∧···∧dxjr
dω1 ∧ ω2 +(−1) k ω1 ∧ dω2.
Del mismo modo, basta comprobar que d) se cumple para una forma de tipo
Entonces
ω = fdxi1∧···∧dxik .
dω = df ∧ dxi1 ∧···∧dxik
y basta ver que d 2 = 0 al actuar sobre 0-formas, pues una inducción usando la
propiedad c) ya demostrada nos da el caso general de d). Veamos, pues, que
d(df )) = 0. En efecto, sabemos que
En consecuencia
d(d(f)) =
=
n
i=1
df =
n ∂f
dxi.
∂xi
i=1
d ∂f
∧ dxi =
∂xi
1≤i